Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74243 / 60937
↖ ↑ ↗
← N 12.530434°
E 23.914489°		 ← 298.15 m → N 12.530434°
E 23.917236°		 →
↑
298.10 m
↓
↑
298.10 m
↓
N 12.527753°
E 23.914489°		 ← 298.15 m →
88 879 m²		 N 12.527753°
E 23.917236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566432952880859 y=0.464916229248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566432952880859 × 217)
    floor (0.566432952880859 × 131072)
    floor (74243.5)     		tx = 74243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.464916229248047 × 217)
    floor (0.464916229248047 × 131072)
    floor (60937.5)     		ty = 60937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74243 / 60937 ti = "17/74243/60937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74243/60937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74243 ÷ 217
    74243 ÷ 131072     		x = 0.566429138183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60937 ÷ 217
    60937 ÷ 131072     		y = 0.464912414550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566429138183594 × 2 - 1) × π
    0.132858276367188 × 3.1415926535     		Λ = 0.41738658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.464912414550781 × 2 - 1) × π
    0.0701751708984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.220461801352638
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41738658} λ = 0.41738658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.220461801352638))-π/2
    2×atan(1.24665230339698)-π/2
    2×0.894746830231481-π/2
    1.78949366046296-1.57079632675     		φ = 0.21869733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41738658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.914489°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21869733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.530434°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74243 KachelY 60937 0.41738658 0.21869733 23.914489 12.530434
    Oben rechts KachelX + 1 74244 KachelY 60937 0.41743452 0.21869733 23.917236 12.530434
    Unten links KachelX 74243 KachelY + 1 60938 0.41738658 0.21865054 23.914489 12.527753
    Unten rechts KachelX + 1 74244 KachelY + 1 60938 0.41743452 0.21865054 23.917236 12.527753
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21869733-0.21865054) × R
    4.6789999999991e-05 × 6371000     		dl = 298.099089999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21869733-0.21865054) × R
    4.6789999999991e-05 × 6371000     		dr = 298.099089999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41738658-0.41743452) × cos(0.21869733) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.976180902409256 × 6371000     		do = 298.150774492019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41738658-0.41743452) × cos(0.21865054) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.976191052813259 × 6371000     		du = 298.153874686673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21869733)-sin(0.21865054))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976180902409256-0.976191052813259)×R²
    abs(0.41743452-0.41738658)×1.01504040026512e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.01504040026512e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.01504040026512e-05×40589641000000     		ar = 88878.9366576726m²