Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74242 / 73218
↖ ↑ ↗
← S 20.637925°
E 23.911743°		 ← 285.77 m → S 20.637925°
E 23.914489°		 →
↑
285.80 m
↓
↑
285.80 m
↓
S 20.640495°
E 23.911743°		 ← 285.76 m →
81 672 m²		 S 20.640495°
E 23.914489°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566425323486328 y=0.558612823486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566425323486328 × 217)
    floor (0.566425323486328 × 131072)
    floor (74242.5)     		tx = 74242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558612823486328 × 217)
    floor (0.558612823486328 × 131072)
    floor (73218.5)     		ty = 73218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74242 / 73218 ti = "17/74242/73218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74242/73218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74242 ÷ 217
    74242 ÷ 131072     		x = 0.566421508789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73218 ÷ 217
    73218 ÷ 131072     		y = 0.558609008789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566421508789062 × 2 - 1) × π
    0.132843017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41733865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558609008789062 × 2 - 1) × π
    -0.117218017578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.368251262881271
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41733865} λ = 0.41733865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.368251262881271))-π/2
    2×atan(0.691943300177381)-π/2
    2×0.605298292514843-π/2
    1.21059658502969-1.57079632675     		φ = -0.36019974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41733865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.911743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36019974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.637925°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74242 KachelY 73218 0.41733865 -0.36019974 23.911743 -20.637925
    Oben rechts KachelX + 1 74243 KachelY 73218 0.41738658 -0.36019974 23.914489 -20.637925
    Unten links KachelX 74242 KachelY + 1 73219 0.41733865 -0.36024460 23.911743 -20.640495
    Unten rechts KachelX + 1 74243 KachelY + 1 73219 0.41738658 -0.36024460 23.914489 -20.640495
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36019974--0.36024460) × R
    4.48600000000354e-05 × 6371000     		dl = 285.803060000226m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36019974--0.36024460) × R
    4.48600000000354e-05 × 6371000     		dr = 285.803060000226m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41733865-0.41738658) × cos(-0.36019974) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.935826441753747 × 6371000     		do = 285.765861981776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41733865-0.41738658) × cos(-0.36024460) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.935810629404375 × 6371000     		du = 285.761033490672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36019974)-sin(-0.36024460))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935826441753747-0.935810629404375)×R²
    abs(0.41738658-0.41733865)×1.58123493722018e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.58123493722018e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.58123493722018e-05×40589641000000     		ar = 81672.0678129755m²