Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74242 / 55074
↖ ↑ ↗
← N 27.600803°
E 23.911743°		 ← 270.61 m → N 27.600803°
E 23.914489°		 →
↑
270.70 m
↓
↑
270.70 m
↓
N 27.598369°
E 23.911743°		 ← 270.62 m →
73 256 m²		 N 27.598369°
E 23.914489°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566425323486328 y=0.420185089111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566425323486328 × 217)
    floor (0.566425323486328 × 131072)
    floor (74242.5)     		tx = 74242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420185089111328 × 217)
    floor (0.420185089111328 × 131072)
    floor (55074.5)     		ty = 55074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74242 / 55074 ti = "17/74242/55074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74242/55074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74242 ÷ 217
    74242 ÷ 131072     		x = 0.566421508789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55074 ÷ 217
    55074 ÷ 131072     		y = 0.420181274414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566421508789062 × 2 - 1) × π
    0.132843017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41733865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420181274414062 × 2 - 1) × π
    0.159637451171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.501515843825027
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41733865} λ = 0.41733865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.501515843825027))-π/2
    2×atan(1.65122236981642)-π/2
    2×1.02626060686562-π/2
    2.05252121373124-1.57079632675     		φ = 0.48172489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41733865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.911743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48172489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.600803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74242 KachelY 55074 0.41733865 0.48172489 23.911743 27.600803
    Oben rechts KachelX + 1 74243 KachelY 55074 0.41738658 0.48172489 23.914489 27.600803
    Unten links KachelX 74242 KachelY + 1 55075 0.41733865 0.48168240 23.911743 27.598369
    Unten rechts KachelX + 1 74243 KachelY + 1 55075 0.41738658 0.48168240 23.914489 27.598369
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48172489-0.48168240) × R
    4.24900000000061e-05 × 6371000     		dl = 270.703790000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48172489-0.48168240) × R
    4.24900000000061e-05 × 6371000     		dr = 270.703790000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41733865-0.41738658) × cos(0.48172489) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.886197085378653 × 6371000     		do = 270.610940971474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41733865-0.41738658) × cos(0.48168240) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.886216770554993 × 6371000     		du = 270.616952076883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48172489)-sin(0.48168240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886197085378653-0.886216770554993)×R²
    abs(0.41738658-0.41733865)×1.96851763406558e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.96851763406558e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.96851763406558e-05×40589641000000     		ar = 73256.2209619303m²