Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7424 / 4878
↖ ↑ ↗
← N 58.654085°
W 16.875000°		 ← 1 270.97 m → N 58.654085°
W 16.853028°		 →
↑
1 271.21 m
↓
↑
1 271.21 m
↓
N 58.642653°
W 16.875000°		 ← 1 271.39 m →
1 615 928 m²		 N 58.642653°
W 16.853028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453155517578125 y=0.297760009765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453155517578125 × 214)
    floor (0.453155517578125 × 16384)
    floor (7424.5)     		tx = 7424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297760009765625 × 214)
    floor (0.297760009765625 × 16384)
    floor (4878.5)     		ty = 4878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7424 / 4878 ti = "14/7424/4878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7424/4878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7424 ÷ 214
    7424 ÷ 16384     		x = 0.453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4878 ÷ 214
    4878 ÷ 16384     		y = 0.2977294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453125 × 2 - 1) × π
    -0.09375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29452431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2977294921875 × 2 - 1) × π
    0.404541015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.27090308272693
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29452431} λ = -0.29452431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27090308272693))-π/2
    2×atan(3.56406975927656)-π/2
    2×1.29725161179002-π/2
    2.59450322358004-1.57079632675     		φ = 1.02370690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29452431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.875000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02370690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.654085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7424 KachelY 4878 -0.29452431 1.02370690 -16.875000 58.654085
    Oben rechts KachelX + 1 7425 KachelY 4878 -0.29414082 1.02370690 -16.853028 58.654085
    Unten links KachelX 7424 KachelY + 1 4879 -0.29452431 1.02350737 -16.875000 58.642653
    Unten rechts KachelX + 1 7425 KachelY + 1 4879 -0.29414082 1.02350737 -16.853028 58.642653
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02370690-1.02350737) × R
    0.00019953000000017 × 6371000     		dl = 1271.20563000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02370690-1.02350737) × R
    0.00019953000000017 × 6371000     		dr = 1271.20563000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29452431--0.29414082) × cos(1.02370690) × R
    0.000383489999999986 × 0.520203683449229 × 6371000     		do = 1270.96933321559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29452431--0.29414082) × cos(1.02350737) × R
    0.000383489999999986 × 0.52037408013868 × 6371000     		du = 1271.38564892742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02370690)-sin(1.02350737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.520203683449229-0.52037408013868)×R²
    abs(-0.29414082--0.29452431)×0.000170396689450847×R²
    0.000383489999999986×0.000170396689450847×6371000²
    0.000383489999999986×0.000170396689450847×40589641000000     		ar = 1615927.98874252m²