Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74239 / 78346
↖ ↑ ↗
← S 33.160547°
E 23.903504°		 ← 255.63 m → S 33.160547°
E 23.906250°		 →
↑
255.67 m
↓
↑
255.67 m
↓
S 33.162846°
E 23.903504°		 ← 255.62 m →
65 356 m²		 S 33.162846°
E 23.906250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74239 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78346 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566402435302734 y=0.597736358642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566402435302734 × 217)
    floor (0.566402435302734 × 131072)
    floor (74239.5)     		tx = 74239
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597736358642578 × 217)
    floor (0.597736358642578 × 131072)
    floor (78346.5)     		ty = 78346
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74239 / 78346 ti = "17/74239/78346"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74239/78346.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74239 ÷ 217
    74239 ÷ 131072     		x = 0.566398620605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78346 ÷ 217
    78346 ÷ 131072     		y = 0.597732543945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566398620605469 × 2 - 1) × π
    0.132797241210938 × 3.1415926535     		Λ = 0.41719484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597732543945312 × 2 - 1) × π
    -0.195465087890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.614071684132919
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41719484} λ = 0.41719484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.614071684132919))-π/2
    2×atan(0.541143013857073)-π/2
    2×0.496017800165999-π/2
    0.992035600331999-1.57079632675     		φ = -0.57876073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41719484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.903504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57876073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.160547°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74239 KachelY 78346 0.41719484 -0.57876073 23.903504 -33.160547
    Oben rechts KachelX + 1 74240 KachelY 78346 0.41724277 -0.57876073 23.906250 -33.160547
    Unten links KachelX 74239 KachelY + 1 78347 0.41719484 -0.57880086 23.903504 -33.162846
    Unten rechts KachelX + 1 74240 KachelY + 1 78347 0.41724277 -0.57880086 23.906250 -33.162846
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57876073--0.57880086) × R
    4.01300000000271e-05 × 6371000     		dl = 255.668230000173m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57876073--0.57880086) × R
    4.01300000000271e-05 × 6371000     		dr = 255.668230000173m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41719484-0.41724277) × cos(-0.57876073) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.837141157050037 × 6371000     		do = 255.631123113208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41719484-0.41724277) × cos(-0.57880086) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.837119205791144 × 6371000     		du = 255.624420032232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57876073)-sin(-0.57880086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837141157050037-0.837119205791144)×R²
    abs(0.41724277-0.41719484)×2.19512588924831e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.19512588924831e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.19512588924831e-05×40589641000000     		ar = 65355.8999055856m²