Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74237 / 78345
↖ ↑ ↗
← S 33.158248°
E 23.898010°		 ← 255.69 m → S 33.158248°
E 23.900757°		 →
↑
255.67 m
↓
↑
255.67 m
↓
S 33.160547°
E 23.898010°		 ← 255.68 m →
65 371 m²		 S 33.160547°
E 23.900757°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74237 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566387176513672 y=0.597728729248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566387176513672 × 217)
    floor (0.566387176513672 × 131072)
    floor (74237.5)     		tx = 74237
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597728729248047 × 217)
    floor (0.597728729248047 × 131072)
    floor (78345.5)     		ty = 78345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74237 / 78345 ti = "17/74237/78345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74237/78345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74237 ÷ 217
    74237 ÷ 131072     		x = 0.566383361816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78345 ÷ 217
    78345 ÷ 131072     		y = 0.597724914550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566383361816406 × 2 - 1) × π
    0.132766723632812 × 3.1415926535     		Λ = 0.41709896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597724914550781 × 2 - 1) × π
    -0.195449829101562 × 3.1415926535     		Φ = -0.614023747233299
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41709896} λ = 0.41709896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.614023747233299))-π/2
    2×atan(0.541168955197177)-π/2
    2×0.49603786540491-π/2
    0.992075730809819-1.57079632675     		φ = -0.57872060
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41709896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.898010°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57872060 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.158248°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74237 KachelY 78345 0.41709896 -0.57872060 23.898010 -33.158248
    Oben rechts KachelX + 1 74238 KachelY 78345 0.41714690 -0.57872060 23.900757 -33.158248
    Unten links KachelX 74237 KachelY + 1 78346 0.41709896 -0.57876073 23.898010 -33.160547
    Unten rechts KachelX + 1 74238 KachelY + 1 78346 0.41714690 -0.57876073 23.900757 -33.160547
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57872060--0.57876073) × R
    4.01299999999161e-05 × 6371000     		dl = 255.668229999465m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57872060--0.57876073) × R
    4.01299999999161e-05 × 6371000     		dr = 255.668229999465m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41709896-0.41714690) × cos(-0.57872060) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.837163106960783 × 6371000     		do = 255.691161444029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41709896-0.41714690) × cos(-0.57876073) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.837141157050037 × 6371000     		du = 255.684457376296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57872060)-sin(-0.57876073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837163106960783-0.837141157050037)×R²
    abs(0.41714690-0.41709896)×2.19499107462218e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.19499107462218e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.19499107462218e-05×40589641000000     		ar = 65371.2496731378m²