Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74237 / 56871
↖ ↑ ↗
← N 23.142885°
E 23.898010°		 ← 280.85 m → N 23.142885°
E 23.900757°		 →
↑
280.83 m
↓
↑
280.83 m
↓
N 23.140360°
E 23.898010°		 ← 280.85 m →
78 872 m²		 N 23.140360°
E 23.900757°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74237 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566387176513672 y=0.433895111083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566387176513672 × 217)
    floor (0.566387176513672 × 131072)
    floor (74237.5)     		tx = 74237
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433895111083984 × 217)
    floor (0.433895111083984 × 131072)
    floor (56871.5)     		ty = 56871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74237 / 56871 ti = "17/74237/56871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74237/56871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74237 ÷ 217
    74237 ÷ 131072     		x = 0.566383361816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56871 ÷ 217
    56871 ÷ 131072     		y = 0.433891296386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566383361816406 × 2 - 1) × π
    0.132766723632812 × 3.1415926535     		Λ = 0.41709896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433891296386719 × 2 - 1) × π
    0.132217407226562 × 3.1415926535     		Φ = 0.415373235207787
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41709896} λ = 0.41709896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.415373235207787))-π/2
    2×atan(1.51493606266259)-π/2
    2×0.987357939192878-π/2
    1.97471587838576-1.57079632675     		φ = 0.40391955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41709896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.898010°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40391955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.142885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74237 KachelY 56871 0.41709896 0.40391955 23.898010 23.142885
    Oben rechts KachelX + 1 74238 KachelY 56871 0.41714690 0.40391955 23.900757 23.142885
    Unten links KachelX 74237 KachelY + 1 56872 0.41709896 0.40387547 23.898010 23.140360
    Unten rechts KachelX + 1 74238 KachelY + 1 56872 0.41714690 0.40387547 23.900757 23.140360
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40391955-0.40387547) × R
    4.40800000000019e-05 × 6371000     		dl = 280.833680000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40391955-0.40387547) × R
    4.40800000000019e-05 × 6371000     		dr = 280.833680000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41709896-0.41714690) × cos(0.40391955) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.919527578185346 × 6371000     		do = 280.847391017483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41709896-0.41714690) × cos(0.40387547) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.919544901855439 × 6371000     		du = 280.852682112241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40391955)-sin(0.40387547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.919527578185346-0.919544901855439)×R²
    abs(0.41714690-0.41709896)×1.73236700923285e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.73236700923285e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.73236700923285e-05×40589641000000     		ar = 78872.1493094119m²