Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74234 / 61129
↖ ↑ ↗
← N 12.015144°
E 23.889770°		 ← 298.73 m → N 12.015144°
E 23.892517°		 →
↑
298.74 m
↓
↑
298.74 m
↓
N 12.012457°
E 23.889770°		 ← 298.74 m →
89 243 m²		 N 12.012457°
E 23.892517°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566364288330078 y=0.466381072998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566364288330078 × 217)
    floor (0.566364288330078 × 131072)
    floor (74234.5)     		tx = 74234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466381072998047 × 217)
    floor (0.466381072998047 × 131072)
    floor (61129.5)     		ty = 61129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74234 / 61129 ti = "17/74234/61129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74234/61129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74234 ÷ 217
    74234 ÷ 131072     		x = 0.566360473632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61129 ÷ 217
    61129 ÷ 131072     		y = 0.466377258300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566360473632812 × 2 - 1) × π
    0.132720947265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41695515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.466377258300781 × 2 - 1) × π
    0.0672454833984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.211257916625587
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41695515} λ = 0.41695515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.211257916625587))-π/2
    2×atan(1.23523090056623)-π/2
    2×0.890250074317826-π/2
    1.78050014863565-1.57079632675     		φ = 0.20970382
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41695515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.889770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20970382 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.015144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74234 KachelY 61129 0.41695515 0.20970382 23.889770 12.015144
    Oben rechts KachelX + 1 74235 KachelY 61129 0.41700309 0.20970382 23.892517 12.015144
    Unten links KachelX 74234 KachelY + 1 61130 0.41695515 0.20965693 23.889770 12.012457
    Unten rechts KachelX + 1 74235 KachelY + 1 61130 0.41700309 0.20965693 23.892517 12.012457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20970382-0.20965693) × R
    4.68900000000216e-05 × 6371000     		dl = 298.736190000138m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20970382-0.20965693) × R
    4.68900000000216e-05 × 6371000     		dr = 298.736190000138m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41695515-0.41700309) × cos(0.20970382) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.978092613478679 × 6371000     		do = 298.734660260409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41695515-0.41700309) × cos(0.20965693) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.978102373504922 × 6371000     		du = 298.737641223647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20970382)-sin(0.20965693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978092613478679-0.978102373504922)×R²
    abs(0.41700309-0.41695515)×9.76002624308858e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.76002624308858e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.76002624308858e-06×40589641000000     		ar = 89243.2995043579m²