Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74232 / 76296
↖ ↑ ↗
← S 28.323725°
E 23.884277°		 ← 268.86 m → S 28.323725°
E 23.887024°		 →
↑
268.86 m
↓
↑
268.86 m
↓
S 28.326142°
E 23.884277°		 ← 268.85 m →
72 284 m²		 S 28.326142°
E 23.887024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566349029541016 y=0.582096099853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566349029541016 × 217)
    floor (0.566349029541016 × 131072)
    floor (74232.5)     		tx = 74232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582096099853516 × 217)
    floor (0.582096099853516 × 131072)
    floor (76296.5)     		ty = 76296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74232 / 76296 ti = "17/74232/76296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74232/76296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74232 ÷ 217
    74232 ÷ 131072     		x = 0.56634521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76296 ÷ 217
    76296 ÷ 131072     		y = 0.58209228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56634521484375 × 2 - 1) × π
    0.1326904296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.41685928
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58209228515625 × 2 - 1) × π
    -0.1641845703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.515801039911804
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41685928} λ = 0.41685928}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.515801039911804))-π/2
    2×atan(0.597022164441038)-π/2
    2×0.538227038460268-π/2
    1.07645407692054-1.57079632675     		φ = -0.49434225
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41685928} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.884277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49434225 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.323725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74232 KachelY 76296 0.41685928 -0.49434225 23.884277 -28.323725
    Oben rechts KachelX + 1 74233 KachelY 76296 0.41690722 -0.49434225 23.887024 -28.323725
    Unten links KachelX 74232 KachelY + 1 76297 0.41685928 -0.49438445 23.884277 -28.326142
    Unten rechts KachelX + 1 74233 KachelY + 1 76297 0.41690722 -0.49438445 23.887024 -28.326142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49434225--0.49438445) × R
    4.21999999999922e-05 × 6371000     		dl = 268.856199999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49434225--0.49438445) × R
    4.21999999999922e-05 × 6371000     		dr = 268.856199999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41685928-0.41690722) × cos(-0.49434225) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.880280971529646 × 6371000     		do = 268.860467137496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41685928-0.41690722) × cos(-0.49438445) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.880260948839819 × 6371000     		du = 268.854351692639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49434225)-sin(-0.49438445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880280971529646-0.880260948839819)×R²
    abs(0.41690722-0.41685928)×2.00226898273703e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.00226898273703e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.00226898273703e-05×40589641000000     		ar = 72283.9814479284m²