Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74231 / 76931
↖ ↑ ↗
← S 29.847791°
E 23.881531°		 ← 264.91 m → S 29.847791°
E 23.884277°		 →
↑
264.84 m
↓
↑
264.84 m
↓
S 29.850173°
E 23.881531°		 ← 264.90 m →
70 159 m²		 S 29.850173°
E 23.884277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76931 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566341400146484 y=0.586940765380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566341400146484 × 217)
    floor (0.566341400146484 × 131072)
    floor (74231.5)     		tx = 74231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586940765380859 × 217)
    floor (0.586940765380859 × 131072)
    floor (76931.5)     		ty = 76931
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74231 / 76931 ti = "17/74231/76931"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74231/76931.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74231 ÷ 217
    74231 ÷ 131072     		x = 0.566337585449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76931 ÷ 217
    76931 ÷ 131072     		y = 0.586936950683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566337585449219 × 2 - 1) × π
    0.132675170898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.41681134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586936950683594 × 2 - 1) × π
    -0.173873901367188 × 3.1415926535     		Φ = -0.54624097117054
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41681134} λ = 0.41681134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.54624097117054))-π/2
    2×atan(0.579122662699526)-π/2
    2×0.524927050539248-π/2
    1.0498541010785-1.57079632675     		φ = -0.52094223
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41681134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.881531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52094223 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.847791°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74231 KachelY 76931 0.41681134 -0.52094223 23.881531 -29.847791
    Oben rechts KachelX + 1 74232 KachelY 76931 0.41685928 -0.52094223 23.884277 -29.847791
    Unten links KachelX 74231 KachelY + 1 76932 0.41681134 -0.52098380 23.881531 -29.850173
    Unten rechts KachelX + 1 74232 KachelY + 1 76932 0.41685928 -0.52098380 23.884277 -29.850173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52094223--0.52098380) × R
    4.15700000000463e-05 × 6371000     		dl = 264.842470000295m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52094223--0.52098380) × R
    4.15700000000463e-05 × 6371000     		dr = 264.842470000295m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41681134-0.41685928) × cos(-0.52094223) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.867350619150878 × 6371000     		do = 264.911204693748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41681134-0.41685928) × cos(-0.52098380) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.867329929112132 × 6371000     		du = 264.904885423354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52094223)-sin(-0.52098380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867350619150878-0.867329929112132)×R²
    abs(0.41685928-0.41681134)×2.06900387458298e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.06900387458298e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.06900387458298e-05×40589641000000     		ar = 70158.9009862958m²