Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7423 / 7525
↖ ↑ ↗
← S 81.754759°
E146.206055°		 ← 700.77 m → S 81.754759°
E146.250000°		 →
↑
700.49 m
↓
↑
700.49 m
↓
S 81.761058°
E146.206055°		 ← 700.24 m →
490 700 m²		 S 81.761058°
E146.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.90618896484375 y=0.91864013671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.90618896484375 × 213)
    floor (0.90618896484375 × 8192)
    floor (7423.5)     		tx = 7423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.91864013671875 × 213)
    floor (0.91864013671875 × 8192)
    floor (7525.5)     		ty = 7525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7423 / 7525 ti = "13/7423/7525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7423/7525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7423 ÷ 213
    7423 ÷ 8192     		x = 0.9061279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7525 ÷ 213
    7525 ÷ 8192     		y = 0.9185791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9061279296875 × 2 - 1) × π
    0.812255859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.55177704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9185791015625 × 2 - 1) × π
    -0.837158203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.63001006075476
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55177704} λ = 2.55177704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.63001006075476))-π/2
    2×atan(0.0720777370786818)-π/2
    2×0.0719533052935465-π/2
    0.143906610587093-1.57079632675     		φ = -1.42688972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55177704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.206055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42688972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.754759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7423 KachelY 7525 2.55177704 -1.42688972 146.206055 -81.754759
    Oben rechts KachelX + 1 7424 KachelY 7525 2.55254403 -1.42688972 146.250000 -81.754759
    Unten links KachelX 7423 KachelY + 1 7526 2.55177704 -1.42699967 146.206055 -81.761058
    Unten rechts KachelX + 1 7424 KachelY + 1 7526 2.55254403 -1.42699967 146.250000 -81.761058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42688972--1.42699967) × R
    0.000109950000000136 × 6371000     		dl = 700.491450000869m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42688972--1.42699967) × R
    0.000109950000000136 × 6371000     		dr = 700.491450000869m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55177704-2.55254403) × cos(-1.42688972) × R
    0.000766989999999801 × 0.14341042452124 × 6371000     		do = 700.774077138909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55177704-2.55254403) × cos(-1.42699967) × R
    0.000766989999999801 × 0.143301610174626 × 6371000     		du = 700.242356564322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42688972)-sin(-1.42699967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14341042452124-0.143301610174626)×R²
    abs(2.55254403-2.55177704)×0.000108814346614333×R²
    0.000766989999999801×0.000108814346614333×6371000²
    0.000766989999999801×0.000108814346614333×40589641000000     		ar = 490700.017055451m²