Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7423 / 10758
↖ ↑ ↗
← S 49.009051°
W 16.896973°		 ← 1 602.64 m → S 49.009051°
W 16.875000°		 →
↑
1 602.37 m
↓
↑
1 602.37 m
↓
S 49.023461°
W 16.896973°		 ← 1 602.18 m →
2 567 657 m²		 S 49.023461°
W 16.875000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453094482421875 y=0.656646728515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453094482421875 × 214)
    floor (0.453094482421875 × 16384)
    floor (7423.5)     		tx = 7423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656646728515625 × 214)
    floor (0.656646728515625 × 16384)
    floor (10758.5)     		ty = 10758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7423 / 10758 ti = "14/7423/10758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7423/10758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7423 ÷ 214
    7423 ÷ 16384     		x = 0.45306396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10758 ÷ 214
    10758 ÷ 16384     		y = 0.6566162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45306396484375 × 2 - 1) × π
    -0.0938720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29490781
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6566162109375 × 2 - 1) × π
    -0.313232421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.984048675400513
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29490781} λ = -0.29490781}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.984048675400513))-π/2
    2×atan(0.373794657897962)-π/2
    2×0.357713513456219-π/2
    0.715427026912437-1.57079632675     		φ = -0.85536930
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29490781} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.896973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85536930 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.009051°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7423 KachelY 10758 -0.29490781 -0.85536930 -16.896973 -49.009051
    Oben rechts KachelX + 1 7424 KachelY 10758 -0.29452431 -0.85536930 -16.875000 -49.009051
    Unten links KachelX 7423 KachelY + 1 10759 -0.29490781 -0.85562081 -16.896973 -49.023461
    Unten rechts KachelX + 1 7424 KachelY + 1 10759 -0.29452431 -0.85562081 -16.875000 -49.023461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85536930--0.85562081) × R
    0.00025151000000001 × 6371000     		dl = 1602.37021000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85536930--0.85562081) × R
    0.00025151000000001 × 6371000     		dr = 1602.37021000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29490781--0.29452431) × cos(-0.85536930) × R
    0.000383499999999981 × 0.655939801957449 × 6371000     		do = 1602.64361541681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29490781--0.29452431) × cos(-0.85562081) × R
    0.000383499999999981 × 0.655749938143483 × 6371000     		du = 1602.17972524222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85536930)-sin(-0.85562081))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655939801957449-0.655749938143483)×R²
    abs(-0.29452431--0.29490781)×0.000189863813966018×R²
    0.000383499999999981×0.000189863813966018×6371000²
    0.000383499999999981×0.000189863813966018×40589641000000     		ar = 2567656.73822678m²