Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74221 / 56451
↖ ↑ ↗
← N 24.199374°
E 23.854065°		 ← 278.59 m → N 24.199374°
E 23.856812°		 →
↑
278.60 m
↓
↑
278.60 m
↓
N 24.196869°
E 23.854065°		 ← 278.59 m →
77 616 m²		 N 24.196869°
E 23.856812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566265106201172 y=0.430690765380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566265106201172 × 217)
    floor (0.566265106201172 × 131072)
    floor (74221.5)     		tx = 74221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430690765380859 × 217)
    floor (0.430690765380859 × 131072)
    floor (56451.5)     		ty = 56451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74221 / 56451 ti = "17/74221/56451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74221/56451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74221 ÷ 217
    74221 ÷ 131072     		x = 0.566261291503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56451 ÷ 217
    56451 ÷ 131072     		y = 0.430686950683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566261291503906 × 2 - 1) × π
    0.132522583007812 × 3.1415926535     		Λ = 0.41633197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430686950683594 × 2 - 1) × π
    0.138626098632812 × 3.1415926535     		Φ = 0.43550673304821
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41633197} λ = 0.41633197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.43550673304821))-π/2
    2×atan(1.54574614118164)-π/2
    2×0.996577541476299-π/2
    1.9931550829526-1.57079632675     		φ = 0.42235876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41633197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.854065°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42235876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.199374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74221 KachelY 56451 0.41633197 0.42235876 23.854065 24.199374
    Oben rechts KachelX + 1 74222 KachelY 56451 0.41637991 0.42235876 23.856812 24.199374
    Unten links KachelX 74221 KachelY + 1 56452 0.41633197 0.42231503 23.854065 24.196869
    Unten rechts KachelX + 1 74222 KachelY + 1 56452 0.41637991 0.42231503 23.856812 24.196869
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42235876-0.42231503) × R
    4.37300000000196e-05 × 6371000     		dl = 278.603830000125m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42235876-0.42231503) × R
    4.37300000000196e-05 × 6371000     		dr = 278.603830000125m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41633197-0.41637991) × cos(0.42235876) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.912124592060385 × 6371000     		do = 278.586328502381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41633197-0.41637991) × cos(0.42231503) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.912142516686988 × 6371000     		du = 278.591803144726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42235876)-sin(0.42231503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.912124592060385-0.912142516686988)×R²
    abs(0.41637991-0.41633197)×1.79246266036603e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.79246266036603e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.79246266036603e-05×40589641000000     		ar = 77615.9807469527m²