Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74220 / 61131
↖ ↑ ↗
← N 12.009771°
E 23.851319°		 ← 298.68 m → N 12.009771°
E 23.854065°		 →
↑
298.74 m
↓
↑
298.74 m
↓
N 12.007085°
E 23.851319°		 ← 298.68 m →
89 226 m²		 N 12.007085°
E 23.854065°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566257476806641 y=0.466396331787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566257476806641 × 217)
    floor (0.566257476806641 × 131072)
    floor (74220.5)     		tx = 74220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466396331787109 × 217)
    floor (0.466396331787109 × 131072)
    floor (61131.5)     		ty = 61131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74220 / 61131 ti = "17/74220/61131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74220/61131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74220 ÷ 217
    74220 ÷ 131072     		x = 0.566253662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61131 ÷ 217
    61131 ÷ 131072     		y = 0.466392517089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566253662109375 × 2 - 1) × π
    0.13250732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.41628404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.466392517089844 × 2 - 1) × π
    0.0672149658203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.211162042826347
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41628404} λ = 0.41628404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.211162042826347))-π/2
    2×atan(1.23511247996366)-π/2
    2×0.890203187122594-π/2
    1.78040637424519-1.57079632675     		φ = 0.20961005
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41628404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.851319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20961005 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.009771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74220 KachelY 61131 0.41628404 0.20961005 23.851319 12.009771
    Oben rechts KachelX + 1 74221 KachelY 61131 0.41633197 0.20961005 23.854065 12.009771
    Unten links KachelX 74220 KachelY + 1 61132 0.41628404 0.20956316 23.851319 12.007085
    Unten rechts KachelX + 1 74221 KachelY + 1 61132 0.41633197 0.20956316 23.854065 12.007085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20961005-0.20956316) × R
    4.68899999999939e-05 × 6371000     		dl = 298.736189999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20961005-0.20956316) × R
    4.68899999999939e-05 × 6371000     		dr = 298.736189999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41628404-0.41633197) × cos(0.20961005) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.978112129299853 × 6371000     		do = 298.678305370463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41628404-0.41633197) × cos(0.20956316) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.978121885025481 × 6371000     		du = 298.681284398644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20961005)-sin(0.20956316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978112129299853-0.978121885025481)×R²
    abs(0.41633197-0.41628404)×9.7557256274472e-06×R²
    4.79299999999738e-05×9.7557256274472e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×9.7557256274472e-06×40589641000000     		ar = 89226.4639700933m²