Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7422 / 5889
↖ ↑ ↗
← N 74.772958°
W 98.459473°		 ← 320.86 m → N 74.772958°
W 98.448486°		 →
↑
320.84 m
↓
↑
320.84 m
↓
N 74.770072°
W 98.459473°		 ← 320.92 m →
102 954 m²		 N 74.770072°
W 98.448486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.226516723632812 y=0.179733276367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.226516723632812 × 215)
    floor (0.226516723632812 × 32768)
    floor (7422.5)     		tx = 7422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.179733276367188 × 215)
    floor (0.179733276367188 × 32768)
    floor (5889.5)     		ty = 5889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7422 / 5889 ti = "15/7422/5889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7422/5889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7422 ÷ 215
    7422 ÷ 32768     		x = 0.22650146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5889 ÷ 215
    5889 ÷ 32768     		y = 0.179718017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22650146484375 × 2 - 1) × π
    -0.5469970703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.71844198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.179718017578125 × 2 - 1) × π
    0.64056396484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.01239104604996
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71844198} λ = -1.71844198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.01239104604996))-π/2
    2×atan(7.48118383406632)-π/2
    2×1.43791531569102-π/2
    2.87583063138205-1.57079632675     		φ = 1.30503430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71844198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.459473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30503430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.772958°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7422 KachelY 5889 -1.71844198 1.30503430 -98.459473 74.772958
    Oben rechts KachelX + 1 7423 KachelY 5889 -1.71825023 1.30503430 -98.448486 74.772958
    Unten links KachelX 7422 KachelY + 1 5890 -1.71844198 1.30498394 -98.459473 74.770072
    Unten rechts KachelX + 1 7423 KachelY + 1 5890 -1.71825023 1.30498394 -98.448486 74.770072
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30503430-1.30498394) × R
    5.0359999999916e-05 × 6371000     		dl = 320.843559999465m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30503430-1.30498394) × R
    5.0359999999916e-05 × 6371000     		dr = 320.843559999465m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71844198--1.71825023) × cos(1.30503430) × R
    0.000191749999999935 × 0.262644618380208 × 6371000     		do = 320.856974614425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71844198--1.71825023) × cos(1.30498394) × R
    0.000191749999999935 × 0.262693210040428 × 6371000     		du = 320.916336093772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30503430)-sin(1.30498394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.262644618380208-0.262693210040428)×R²
    abs(-1.71825023--1.71844198)×4.85916602195879e-05×R²
    0.000191749999999935×4.85916602195879e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.85916602195879e-05×40589641000000     		ar = 102954.416881615m²