Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7422 / 4873
↖ ↑ ↗
← N 58.711189°
W 16.918945°		 ← 1 268.89 m → N 58.711189°
W 16.896973°		 →
↑
1 269.10 m
↓
↑
1 269.10 m
↓
N 58.699776°
W 16.918945°		 ← 1 269.30 m →
1 610 615 m²		 N 58.699776°
W 16.896973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4873 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453033447265625 y=0.297454833984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453033447265625 × 214)
    floor (0.453033447265625 × 16384)
    floor (7422.5)     		tx = 7422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297454833984375 × 214)
    floor (0.297454833984375 × 16384)
    floor (4873.5)     		ty = 4873
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7422 / 4873 ti = "14/7422/4873"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7422/4873.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7422 ÷ 214
    7422 ÷ 16384     		x = 0.4530029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4873 ÷ 214
    4873 ÷ 16384     		y = 0.29742431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4530029296875 × 2 - 1) × π
    -0.093994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29529130
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29742431640625 × 2 - 1) × π
    0.4051513671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.27282055871173
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29529130} λ = -0.29529130}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27282055871173))-π/2
    2×atan(3.57091033367079)-π/2
    2×1.29774994259917-π/2
    2.59549988519833-1.57079632675     		φ = 1.02470356
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29529130} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.918945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02470356 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.711189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7422 KachelY 4873 -0.29529130 1.02470356 -16.918945 58.711189
    Oben rechts KachelX + 1 7423 KachelY 4873 -0.29490781 1.02470356 -16.896973 58.711189
    Unten links KachelX 7422 KachelY + 1 4874 -0.29529130 1.02450436 -16.918945 58.699776
    Unten rechts KachelX + 1 7423 KachelY + 1 4874 -0.29490781 1.02450436 -16.896973 58.699776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02470356-1.02450436) × R
    0.000199200000000177 × 6371000     		dl = 1269.10320000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02470356-1.02450436) × R
    0.000199200000000177 × 6371000     		dr = 1269.10320000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29529130--0.29490781) × cos(1.02470356) × R
    0.000383489999999986 × 0.519352235495645 × 6371000     		do = 1268.88906298248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29529130--0.29490781) × cos(1.02450436) × R
    0.000383489999999986 × 0.519522453596238 × 6371000     		du = 1269.30494236337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02470356)-sin(1.02450436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.519352235495645-0.519522453596238)×R²
    abs(-0.29490781--0.29529130)×0.000170218100593145×R²
    0.000383489999999986×0.000170218100593145×6371000²
    0.000383489999999986×0.000170218100593145×40589641000000     		ar = 1610615.07253113m²