Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7422 / 4198
↖ ↑ ↗
← N 65.603878°
W 16.918945°		 ← 1 009.15 m → N 65.603878°
W 16.896973°		 →
↑
1 009.36 m
↓
↑
1 009.36 m
↓
N 65.594800°
W 16.918945°		 ← 1 009.50 m →
1 018 773 m²		 N 65.594800°
W 16.896973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453033447265625 y=0.256256103515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453033447265625 × 214)
    floor (0.453033447265625 × 16384)
    floor (7422.5)     		tx = 7422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.256256103515625 × 214)
    floor (0.256256103515625 × 16384)
    floor (4198.5)     		ty = 4198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7422 / 4198 ti = "14/7422/4198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7422/4198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7422 ÷ 214
    7422 ÷ 16384     		x = 0.4530029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4198 ÷ 214
    4198 ÷ 16384     		y = 0.2562255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4530029296875 × 2 - 1) × π
    -0.093994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29529130
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2562255859375 × 2 - 1) × π
    0.487548828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.53167981666003
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29529130} λ = -0.29529130}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.53167981666003))-π/2
    2×atan(4.62594103206358)-π/2
    2×1.3578999969975-π/2
    2.71579999399501-1.57079632675     		φ = 1.14500367
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29529130} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.918945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14500367 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.603878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7422 KachelY 4198 -0.29529130 1.14500367 -16.918945 65.603878
    Oben rechts KachelX + 1 7423 KachelY 4198 -0.29490781 1.14500367 -16.896973 65.603878
    Unten links KachelX 7422 KachelY + 1 4199 -0.29529130 1.14484524 -16.918945 65.594800
    Unten rechts KachelX + 1 7423 KachelY + 1 4199 -0.29490781 1.14484524 -16.896973 65.594800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14500367-1.14484524) × R
    0.000158429999999932 × 6371000     		dl = 1009.35752999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14500367-1.14484524) × R
    0.000158429999999932 × 6371000     		dr = 1009.35752999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29529130--0.29490781) × cos(1.14500367) × R
    0.000383489999999986 × 0.413042793178339 × 6371000     		do = 1009.15226119619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29529130--0.29490781) × cos(1.14484524) × R
    0.000383489999999986 × 0.413187072035661 × 6371000     		du = 1009.50476543429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14500367)-sin(1.14484524))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413042793178339-0.413187072035661)×R²
    abs(-0.29490781--0.29529130)×0.000144278857321989×R²
    0.000383489999999986×0.000144278857321989×6371000²
    0.000383489999999986×0.000144278857321989×40589641000000     		ar = 1018773.33729018m²