Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74219 / 77153
↖ ↑ ↗
← S 30.375245°
E 23.848572°		 ← 263.50 m → S 30.375245°
E 23.851319°		 →
↑
263.50 m
↓
↑
263.50 m
↓
S 30.377614°
E 23.848572°		 ← 263.49 m →
69 433 m²		 S 30.377614°
E 23.851319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566249847412109 y=0.588634490966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566249847412109 × 217)
    floor (0.566249847412109 × 131072)
    floor (74219.5)     		tx = 74219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588634490966797 × 217)
    floor (0.588634490966797 × 131072)
    floor (77153.5)     		ty = 77153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74219 / 77153 ti = "17/74219/77153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74219/77153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74219 ÷ 217
    74219 ÷ 131072     		x = 0.566246032714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77153 ÷ 217
    77153 ÷ 131072     		y = 0.588630676269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566246032714844 × 2 - 1) × π
    0.132492065429688 × 3.1415926535     		Λ = 0.41623610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588630676269531 × 2 - 1) × π
    -0.177261352539062 × 3.1415926535     		Φ = -0.556882962886192
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41623610} λ = 0.41623610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.556882962886192))-π/2
    2×atan(0.572992321496879)-π/2
    2×0.520324147134671-π/2
    1.04064829426934-1.57079632675     		φ = -0.53014803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41623610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.848572°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53014803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.375245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74219 KachelY 77153 0.41623610 -0.53014803 23.848572 -30.375245
    Oben rechts KachelX + 1 74220 KachelY 77153 0.41628404 -0.53014803 23.851319 -30.375245
    Unten links KachelX 74219 KachelY + 1 77154 0.41623610 -0.53018939 23.848572 -30.377614
    Unten rechts KachelX + 1 74220 KachelY + 1 77154 0.41628404 -0.53018939 23.851319 -30.377614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53014803--0.53018939) × R
    4.13599999999903e-05 × 6371000     		dl = 263.504559999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53014803--0.53018939) × R
    4.13599999999903e-05 × 6371000     		dr = 263.504559999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41623610-0.41628404) × cos(-0.53014803) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.862732226961242 × 6371000     		do = 263.500628841617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41623610-0.41628404) × cos(-0.53018939) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.862711312082014 × 6371000     		du = 263.494240899152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53014803)-sin(-0.53018939))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862732226961242-0.862711312082014)×R²
    abs(0.41628404-0.41623610)×2.09148792277292e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.09148792277292e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.09148792277292e-05×40589641000000     		ar = 69432.7756464877m²