Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74219 / 60540
↖ ↑ ↗
← N 13.592600°
E 23.848572°		 ← 296.87 m → N 13.592600°
E 23.851319°		 →
↑
296.82 m
↓
↑
296.82 m
↓
N 13.589930°
E 23.848572°		 ← 296.87 m →
88 119 m²		 N 13.589930°
E 23.851319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566249847412109 y=0.461887359619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566249847412109 × 217)
    floor (0.566249847412109 × 131072)
    floor (74219.5)     		tx = 74219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461887359619141 × 217)
    floor (0.461887359619141 × 131072)
    floor (60540.5)     		ty = 60540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74219 / 60540 ti = "17/74219/60540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74219/60540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74219 ÷ 217
    74219 ÷ 131072     		x = 0.566246032714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60540 ÷ 217
    60540 ÷ 131072     		y = 0.461883544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566246032714844 × 2 - 1) × π
    0.132492065429688 × 3.1415926535     		Λ = 0.41623610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461883544921875 × 2 - 1) × π
    0.07623291015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.239492750501801
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41623610} λ = 0.41623610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.239492750501801))-π/2
    2×atan(1.27060447334768)-π/2
    2×0.904015973228121-π/2
    1.80803194645624-1.57079632675     		φ = 0.23723562
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41623610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.848572°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23723562 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.592600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74219 KachelY 60540 0.41623610 0.23723562 23.848572 13.592600
    Oben rechts KachelX + 1 74220 KachelY 60540 0.41628404 0.23723562 23.851319 13.592600
    Unten links KachelX 74219 KachelY + 1 60541 0.41623610 0.23718903 23.848572 13.589930
    Unten rechts KachelX + 1 74220 KachelY + 1 60541 0.41628404 0.23718903 23.851319 13.589930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23723562-0.23718903) × R
    4.6590000000013e-05 × 6371000     		dl = 296.824890000083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23723562-0.23718903) × R
    4.6590000000013e-05 × 6371000     		dr = 296.824890000083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41623610-0.41628404) × cos(0.23723562) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.971991363020225 × 6371000     		do = 296.87118132421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41623610-0.41628404) × cos(0.23718903) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.972002311387504 × 6371000     		du = 296.874525237388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23723562)-sin(0.23718903))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971991363020225-0.972002311387504)×R²
    abs(0.41628404-0.41623610)×1.09483672786626e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.09483672786626e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.09483672786626e-05×40589641000000     		ar = 88119.2520350034m²