Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74217 / 56442
↖ ↑ ↗
← N 24.221919°
E 23.843079°		 ← 278.48 m → N 24.221919°
E 23.845825°		 →
↑
278.54 m
↓
↑
278.54 m
↓
N 24.219414°
E 23.843079°		 ← 278.48 m →
77 568 m²		 N 24.219414°
E 23.845825°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566234588623047 y=0.430622100830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566234588623047 × 217)
    floor (0.566234588623047 × 131072)
    floor (74217.5)     		tx = 74217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430622100830078 × 217)
    floor (0.430622100830078 × 131072)
    floor (56442.5)     		ty = 56442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74217 / 56442 ti = "17/74217/56442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74217/56442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74217 ÷ 217
    74217 ÷ 131072     		x = 0.566230773925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56442 ÷ 217
    56442 ÷ 131072     		y = 0.430618286132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566230773925781 × 2 - 1) × π
    0.132461547851562 × 3.1415926535     		Λ = 0.41614023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430618286132812 × 2 - 1) × π
    0.138763427734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.435938165144791
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41614023} λ = 0.41614023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.435938165144791))-π/2
    2×atan(1.54641316955849)-π/2
    2×0.996774283986674-π/2
    1.99354856797335-1.57079632675     		φ = 0.42275224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41614023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.843079°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42275224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.221919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74217 KachelY 56442 0.41614023 0.42275224 23.843079 24.221919
    Oben rechts KachelX + 1 74218 KachelY 56442 0.41618816 0.42275224 23.845825 24.221919
    Unten links KachelX 74217 KachelY + 1 56443 0.41614023 0.42270852 23.843079 24.219414
    Unten rechts KachelX + 1 74218 KachelY + 1 56443 0.41618816 0.42270852 23.845825 24.219414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42275224-0.42270852) × R
    4.37200000000249e-05 × 6371000     		dl = 278.540120000158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42275224-0.42270852) × R
    4.37200000000249e-05 × 6371000     		dr = 278.540120000158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41614023-0.41618816) × cos(0.42275224) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.911963228857502 × 6371000     		do = 278.478942849129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41614023-0.41618816) × cos(0.42270852) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.91198116507537 × 6371000     		du = 278.484419889028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42275224)-sin(0.42270852))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.911963228857502-0.91198116507537)×R²
    abs(0.41618816-0.41614023)×1.79362178679421e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.79362178679421e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.79362178679421e-05×40589641000000     		ar = 77568.3209587935m²