Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74215 / 60539
↖ ↑ ↗
← N 13.595269°
E 23.837585°		 ← 296.87 m → N 13.595269°
E 23.840332°		 →
↑
296.82 m
↓
↑
296.82 m
↓
N 13.592600°
E 23.837585°		 ← 296.87 m →
88 118 m²		 N 13.592600°
E 23.840332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566219329833984 y=0.461879730224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566219329833984 × 217)
    floor (0.566219329833984 × 131072)
    floor (74215.5)     		tx = 74215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461879730224609 × 217)
    floor (0.461879730224609 × 131072)
    floor (60539.5)     		ty = 60539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74215 / 60539 ti = "17/74215/60539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74215/60539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74215 ÷ 217
    74215 ÷ 131072     		x = 0.566215515136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60539 ÷ 217
    60539 ÷ 131072     		y = 0.461875915527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566215515136719 × 2 - 1) × π
    0.132431030273438 × 3.1415926535     		Λ = 0.41604435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461875915527344 × 2 - 1) × π
    0.0762481689453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.239540687401421
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41604435} λ = 0.41604435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.239540687401421))-π/2
    2×atan(1.27066538364669)-π/2
    2×0.904039270223083-π/2
    1.80807854044617-1.57079632675     		φ = 0.23728221
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41604435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.837585°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23728221 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.595269°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74215 KachelY 60539 0.41604435 0.23728221 23.837585 13.595269
    Oben rechts KachelX + 1 74216 KachelY 60539 0.41609229 0.23728221 23.840332 13.595269
    Unten links KachelX 74215 KachelY + 1 60540 0.41604435 0.23723562 23.837585 13.592600
    Unten rechts KachelX + 1 74216 KachelY + 1 60540 0.41609229 0.23723562 23.840332 13.592600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23728221-0.23723562) × R
    4.65899999999853e-05 × 6371000     		dl = 296.824889999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23728221-0.23723562) × R
    4.65899999999853e-05 × 6371000     		dr = 296.824889999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41604435-0.41609229) × cos(0.23728221) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.971980412543115 × 6371000     		do = 296.867836766291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41604435-0.41609229) × cos(0.23723562) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.971991363020225 × 6371000     		du = 296.871181323866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23728221)-sin(0.23723562))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971980412543115-0.971991363020225)×R²
    abs(0.41609229-0.41604435)×1.09504771104163e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.09504771104163e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.09504771104163e-05×40589641000000     		ar = 88118.2593826148m²