Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74215 / 56440
↖ ↑ ↗
← N 24.226929°
E 23.837585°		 ← 278.53 m → N 24.226929°
E 23.840332°		 →
↑
278.48 m
↓
↑
278.48 m
↓
N 24.224424°
E 23.837585°		 ← 278.53 m →
77 564 m²		 N 24.224424°
E 23.840332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566219329833984 y=0.430606842041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566219329833984 × 217)
    floor (0.566219329833984 × 131072)
    floor (74215.5)     		tx = 74215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430606842041016 × 217)
    floor (0.430606842041016 × 131072)
    floor (56440.5)     		ty = 56440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74215 / 56440 ti = "17/74215/56440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74215/56440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74215 ÷ 217
    74215 ÷ 131072     		x = 0.566215515136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56440 ÷ 217
    56440 ÷ 131072     		y = 0.43060302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566215515136719 × 2 - 1) × π
    0.132431030273438 × 3.1415926535     		Λ = 0.41604435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43060302734375 × 2 - 1) × π
    0.1387939453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.436034038944031
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41604435} λ = 0.41604435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.436034038944031))-π/2
    2×atan(1.54656143717163)-π/2
    2×0.996817999816582-π/2
    1.99363599963316-1.57079632675     		φ = 0.42283967
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41604435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.837585°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42283967 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.226929°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74215 KachelY 56440 0.41604435 0.42283967 23.837585 24.226929
    Oben rechts KachelX + 1 74216 KachelY 56440 0.41609229 0.42283967 23.840332 24.226929
    Unten links KachelX 74215 KachelY + 1 56441 0.41604435 0.42279596 23.837585 24.224424
    Unten rechts KachelX + 1 74216 KachelY + 1 56441 0.41609229 0.42279596 23.840332 24.224424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42283967-0.42279596) × R
    4.37099999999746e-05 × 6371000     		dl = 278.476409999838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42283967-0.42279596) × R
    4.37099999999746e-05 × 6371000     		dr = 278.476409999838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41604435-0.41609229) × cos(0.42283967) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.911927355295832 × 6371000     		do = 278.52608731729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41604435-0.41609229) × cos(0.42279596) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.911945290896472 × 6371000     		du = 278.531565311388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42283967)-sin(0.42279596))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.911927355295832-0.911945290896472)×R²
    abs(0.41609229-0.41604435)×1.79356006398956e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79356006398956e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79356006398956e-05×40589641000000     		ar = 77563.7076457719m²