Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74214 / 53375
↖ ↑ ↗
← N 31.655719°
E 23.834839°		 ← 259.98 m → N 31.655719°
E 23.837585°		 →
↑
260 m
↓
↑
260 m
↓
N 31.653381°
E 23.834839°		 ← 259.99 m →
67 597 m²		 N 31.653381°
E 23.837585°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566211700439453 y=0.407222747802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566211700439453 × 217)
    floor (0.566211700439453 × 131072)
    floor (74214.5)     		tx = 74214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407222747802734 × 217)
    floor (0.407222747802734 × 131072)
    floor (53375.5)     		ty = 53375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74214 / 53375 ti = "17/74214/53375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74214/53375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74214 ÷ 217
    74214 ÷ 131072     		x = 0.566207885742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53375 ÷ 217
    53375 ÷ 131072     		y = 0.407218933105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566207885742188 × 2 - 1) × π
    0.132415771484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41599641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407218933105469 × 2 - 1) × π
    0.185562133789062 × 3.1415926535     		Φ = 0.582960636279503
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41599641} λ = 0.41599641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.582960636279503))-π/2
    2×atan(1.79133407629671)-π/2
    2×1.06164642840487-π/2
    2.12329285680973-1.57079632675     		φ = 0.55249653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41599641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.834839°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55249653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.655719°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74214 KachelY 53375 0.41599641 0.55249653 23.834839 31.655719
    Oben rechts KachelX + 1 74215 KachelY 53375 0.41604435 0.55249653 23.837585 31.655719
    Unten links KachelX 74214 KachelY + 1 53376 0.41599641 0.55245572 23.834839 31.653381
    Unten rechts KachelX + 1 74215 KachelY + 1 53376 0.41604435 0.55245572 23.837585 31.653381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55249653-0.55245572) × R
    4.08100000000022e-05 × 6371000     		dl = 260.000510000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55249653-0.55245572) × R
    4.08100000000022e-05 × 6371000     		dr = 260.000510000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41599641-0.41604435) × cos(0.55249653) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.851216962320134 × 6371000     		do = 259.98357061731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41599641-0.41604435) × cos(0.55245572) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.851238379268632 × 6371000     		du = 259.990111904653m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55249653)-sin(0.55245572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851216962320134-0.851238379268632)×R²
    abs(0.41604435-0.41599641)×2.14169484979987e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.14169484979987e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.14169484979987e-05×40589641000000     		ar = 67596.7113304816m²