Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74213 / 53377
↖ ↑ ↗
← N 31.651043°
E 23.832092°		 ← 259.94 m → N 31.651043°
E 23.834839°		 →
↑
260 m
↓
↑
260 m
↓
N 31.648705°
E 23.832092°		 ← 259.95 m →
67 586 m²		 N 31.648705°
E 23.834839°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566204071044922 y=0.407238006591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566204071044922 × 217)
    floor (0.566204071044922 × 131072)
    floor (74213.5)     		tx = 74213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407238006591797 × 217)
    floor (0.407238006591797 × 131072)
    floor (53377.5)     		ty = 53377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74213 / 53377 ti = "17/74213/53377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74213/53377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74213 ÷ 217
    74213 ÷ 131072     		x = 0.566200256347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53377 ÷ 217
    53377 ÷ 131072     		y = 0.407234191894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566200256347656 × 2 - 1) × π
    0.132400512695312 × 3.1415926535     		Λ = 0.41594848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407234191894531 × 2 - 1) × π
    0.185531616210938 × 3.1415926535     		Φ = 0.582864762480263
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41594848} λ = 0.41594848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.582864762480263))-π/2
    2×atan(1.79116234252563)-π/2
    2×1.06160562267625-π/2
    2.12321124535251-1.57079632675     		φ = 0.55241492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41594848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.832092°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55241492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.651043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74213 KachelY 53377 0.41594848 0.55241492 23.832092 31.651043
    Oben rechts KachelX + 1 74214 KachelY 53377 0.41599641 0.55241492 23.834839 31.651043
    Unten links KachelX 74213 KachelY + 1 53378 0.41594848 0.55237411 23.832092 31.648705
    Unten rechts KachelX + 1 74214 KachelY + 1 53378 0.41599641 0.55237411 23.834839 31.648705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55241492-0.55237411) × R
    4.08100000000022e-05 × 6371000     		dl = 260.000510000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55241492-0.55237411) × R
    4.08100000000022e-05 × 6371000     		dr = 260.000510000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41594848-0.41599641) × cos(0.55241492) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.851259789551985 × 6371000     		do = 259.942417394825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41594848-0.41599641) × cos(0.55237411) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.851281203665394 × 6371000     		du = 259.948956451966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55241492)-sin(0.55237411))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851259789551985-0.851281203665394)×R²
    abs(0.41599641-0.41594848)×2.14141134093904e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.14141134093904e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.14141134093904e-05×40589641000000     		ar = 67586.0111817988m²