Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74212 / 56804
↖ ↑ ↗
← N 23.311991°
E 23.829346°		 ← 280.49 m → N 23.311991°
E 23.832092°		 →
↑
280.52 m
↓
↑
280.52 m
↓
N 23.309468°
E 23.829346°		 ← 280.50 m →
78 683 m²		 N 23.309468°
E 23.832092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566196441650391 y=0.433383941650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566196441650391 × 217)
    floor (0.566196441650391 × 131072)
    floor (74212.5)     		tx = 74212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433383941650391 × 217)
    floor (0.433383941650391 × 131072)
    floor (56804.5)     		ty = 56804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74212 / 56804 ti = "17/74212/56804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74212/56804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74212 ÷ 217
    74212 ÷ 131072     		x = 0.566192626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56804 ÷ 217
    56804 ÷ 131072     		y = 0.433380126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566192626953125 × 2 - 1) × π
    0.13238525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41590054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433380126953125 × 2 - 1) × π
    0.13323974609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.41858500748233
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41590054} λ = 0.41590054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.41858500748233))-π/2
    2×atan(1.51980951432549)-π/2
    2×0.988833662033379-π/2
    1.97766732406676-1.57079632675     		φ = 0.40687100
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41590054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.829346°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40687100 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.311991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74212 KachelY 56804 0.41590054 0.40687100 23.829346 23.311991
    Oben rechts KachelX + 1 74213 KachelY 56804 0.41594848 0.40687100 23.832092 23.311991
    Unten links KachelX 74212 KachelY + 1 56805 0.41590054 0.40682697 23.829346 23.309468
    Unten rechts KachelX + 1 74213 KachelY + 1 56805 0.41594848 0.40682697 23.832092 23.309468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40687100-0.40682697) × R
    4.40299999999727e-05 × 6371000     		dl = 280.515129999826m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40687100-0.40682697) × R
    4.40299999999727e-05 × 6371000     		dr = 280.515129999826m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41590054-0.41594848) × cos(0.40687100) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.91836357977194 × 6371000     		do = 280.491875941035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41590054-0.41594848) × cos(0.40682697) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.91838100321313 × 6371000     		du = 280.497197508454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40687100)-sin(0.40682697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91836357977194-0.91838100321313)×R²
    abs(0.41594848-0.41590054)×1.74234411899343e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.74234411899343e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.74234411899343e-05×40589641000000     		ar = 78682.9614462988m²