Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 7421 / 7422
↖ ↑ ↗
← N 79.937838°
W139.235230°		 ← 106.71 m → N 79.937838°
W139.229737°		 →
↑
106.71 m
↓
↑
106.71 m
↓
N 79.936878°
W139.235230°		 ← 106.72 m →
11 389 m²		 N 79.936878°
W139.229737°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7422 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.113243103027344 y=0.113258361816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.113243103027344 × 216)
    floor (0.113243103027344 × 65536)
    floor (7421.5)     		tx = 7421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113258361816406 × 216)
    floor (0.113258361816406 × 65536)
    floor (7422.5)     		ty = 7422
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7421 / 7422 ti = "16/7421/7422"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7421/7422.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7421 ÷ 216
    7421 ÷ 65536     		x = 0.113235473632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7422 ÷ 216
    7422 ÷ 65536     		y = 0.113250732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.113235473632812 × 2 - 1) × π
    -0.773529052734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.43011319
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113250732421875 × 2 - 1) × π
    0.77349853515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.43001731553989
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.43011319} λ = -2.43011319}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43001731553989))-π/2
    2×atan(11.35907876688)-π/2
    2×1.48298739771091-π/2
    2.96597479542183-1.57079632675     		φ = 1.39517847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.43011319} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -139.235230°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39517847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.937838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7421 KachelY 7422 -2.43011319 1.39517847 -139.235230 79.937838
    Oben rechts KachelX + 1 7422 KachelY 7422 -2.43001732 1.39517847 -139.229737 79.937838
    Unten links KachelX 7421 KachelY + 1 7423 -2.43011319 1.39516172 -139.235230 79.936878
    Unten rechts KachelX + 1 7422 KachelY + 1 7423 -2.43001732 1.39516172 -139.229737 79.936878
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39517847-1.39516172) × R
    1.67500000001208e-05 × 6371000     		dl = 106.71425000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39517847-1.39516172) × R
    1.67500000001208e-05 × 6371000     		dr = 106.71425000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.43011319--2.43001732) × cos(1.39517847) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.174716524305433 × 6371000     		do = 106.714716262664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.43011319--2.43001732) × cos(1.39516172) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.174733016645438 × 6371000     		du = 106.724789582238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39517847)-sin(1.39516172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174716524305433-0.174733016645438)×R²
    abs(-2.43001732--2.43011319)×1.64923400056138e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.64923400056138e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.64923400056138e-05×40589641000000     		ar = 11388.5183935697m²