Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7421 / 4188
↖ ↑ ↗
← N 65.694476°
W 16.940918°		 ← 1 005.66 m → N 65.694476°
W 16.918945°		 →
↑
1 005.79 m
↓
↑
1 005.79 m
↓
N 65.685430°
W 16.940918°		 ← 1 006.01 m →
1 011 658 m²		 N 65.685430°
W 16.918945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452972412109375 y=0.255645751953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452972412109375 × 214)
    floor (0.452972412109375 × 16384)
    floor (7421.5)     		tx = 7421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.255645751953125 × 214)
    floor (0.255645751953125 × 16384)
    floor (4188.5)     		ty = 4188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7421 / 4188 ti = "14/7421/4188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7421/4188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7421 ÷ 214
    7421 ÷ 16384     		x = 0.45294189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4188 ÷ 214
    4188 ÷ 16384     		y = 0.255615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45294189453125 × 2 - 1) × π
    -0.0941162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29567480
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.255615234375 × 2 - 1) × π
    0.48876953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.53551476862964
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29567480} λ = -0.29567480}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.53551476862964))-π/2
    2×atan(4.64371535378712)-π/2
    2×1.3586906148746-π/2
    2.71738122974921-1.57079632675     		φ = 1.14658490
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29567480} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.940918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14658490 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.694476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7421 KachelY 4188 -0.29567480 1.14658490 -16.940918 65.694476
    Oben rechts KachelX + 1 7422 KachelY 4188 -0.29529130 1.14658490 -16.918945 65.694476
    Unten links KachelX 7421 KachelY + 1 4189 -0.29567480 1.14642703 -16.940918 65.685430
    Unten rechts KachelX + 1 7422 KachelY + 1 4189 -0.29529130 1.14642703 -16.918945 65.685430
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14658490-1.14642703) × R
    0.000157870000000004 × 6371000     		dl = 1005.78977000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14658490-1.14642703) × R
    0.000157870000000004 × 6371000     		dr = 1005.78977000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29567480--0.29529130) × cos(1.14658490) × R
    0.000383500000000037 × 0.411602232883906 × 6371000     		do = 1005.65888615734m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29567480--0.29529130) × cos(1.14642703) × R
    0.000383500000000037 × 0.411746104724847 × 6371000     		du = 1006.01040513306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14658490)-sin(1.14642703))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411602232883906-0.411746104724847)×R²
    abs(-0.29529130--0.29567480)×0.000143871840941612×R²
    0.000383500000000037×0.000143871840941612×6371000²
    0.000383500000000037×0.000143871840941612×40589641000000     		ar = 1011658.19900195m²