Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7421 / 10763
↖ ↑ ↗
← S 49.081062°
W 16.940918°		 ← 1 600.32 m → S 49.081062°
W 16.918945°		 →
↑
1 600.08 m
↓
↑
1 600.08 m
↓
S 49.095452°
W 16.940918°		 ← 1 599.86 m →
2 560 271 m²		 S 49.095452°
W 16.918945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452972412109375 y=0.656951904296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452972412109375 × 214)
    floor (0.452972412109375 × 16384)
    floor (7421.5)     		tx = 7421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656951904296875 × 214)
    floor (0.656951904296875 × 16384)
    floor (10763.5)     		ty = 10763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7421 / 10763 ti = "14/7421/10763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7421/10763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7421 ÷ 214
    7421 ÷ 16384     		x = 0.45294189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10763 ÷ 214
    10763 ÷ 16384     		y = 0.65692138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45294189453125 × 2 - 1) × π
    -0.0941162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29567480
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65692138671875 × 2 - 1) × π
    -0.3138427734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.985966151385315
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29567480} λ = -0.29567480}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.985966151385315))-π/2
    2×atan(0.37307860234725)-π/2
    2×0.357085094089643-π/2
    0.714170188179285-1.57079632675     		φ = -0.85662614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29567480} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.940918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85662614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.081062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7421 KachelY 10763 -0.29567480 -0.85662614 -16.940918 -49.081062
    Oben rechts KachelX + 1 7422 KachelY 10763 -0.29529130 -0.85662614 -16.918945 -49.081062
    Unten links KachelX 7421 KachelY + 1 10764 -0.29567480 -0.85687729 -16.940918 -49.095452
    Unten rechts KachelX + 1 7422 KachelY + 1 10764 -0.29529130 -0.85687729 -16.918945 -49.095452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85662614--0.85687729) × R
    0.000251149999999978 × 6371000     		dl = 1600.07664999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85662614--0.85687729) × R
    0.000251149999999978 × 6371000     		dr = 1600.07664999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29567480--0.29529130) × cos(-0.85662614) × R
    0.000383500000000037 × 0.654990604700638 × 6371000     		do = 1600.32446216722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29567480--0.29529130) × cos(-0.85687729) × R
    0.000383500000000037 × 0.654800805807568 × 6371000     		du = 1599.86073061246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85662614)-sin(-0.85687729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654990604700638-0.654800805807568)×R²
    abs(-0.29529130--0.29567480)×0.000189798893069471×R²
    0.000383500000000037×0.000189798893069471×6371000²
    0.000383500000000037×0.000189798893069471×40589641000000     		ar = 2560270.81477865m²