Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74207 / 53384
↖ ↑ ↗
← N 31.634676°
E 23.815613°		 ← 259.99 m → N 31.634676°
E 23.818359°		 →
↑
260.06 m
↓
↑
260.06 m
↓
N 31.632337°
E 23.815613°		 ← 259.99 m →
67 614 m²		 N 31.632337°
E 23.818359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566158294677734 y=0.407291412353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566158294677734 × 217)
    floor (0.566158294677734 × 131072)
    floor (74207.5)     		tx = 74207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407291412353516 × 217)
    floor (0.407291412353516 × 131072)
    floor (53384.5)     		ty = 53384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74207 / 53384 ti = "17/74207/53384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74207/53384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74207 ÷ 217
    74207 ÷ 131072     		x = 0.566154479980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53384 ÷ 217
    53384 ÷ 131072     		y = 0.40728759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566154479980469 × 2 - 1) × π
    0.132308959960938 × 3.1415926535     		Λ = 0.41566086
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40728759765625 × 2 - 1) × π
    0.1854248046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.582529204182922
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41566086} λ = 0.41566086}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.582529204182922))-π/2
    2×atan(1.79056140397031)-π/2
    2×1.06146278646018-π/2
    2.12292557292036-1.57079632675     		φ = 0.55212925
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41566086} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.815613°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55212925 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.634676°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74207 KachelY 53384 0.41566086 0.55212925 23.815613 31.634676
    Oben rechts KachelX + 1 74208 KachelY 53384 0.41570879 0.55212925 23.818359 31.634676
    Unten links KachelX 74207 KachelY + 1 53385 0.41566086 0.55208843 23.815613 31.632337
    Unten rechts KachelX + 1 74208 KachelY + 1 53385 0.41570879 0.55208843 23.818359 31.632337
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55212925-0.55208843) × R
    4.08200000000525e-05 × 6371000     		dl = 260.064220000334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55212925-0.55208843) × R
    4.08200000000525e-05 × 6371000     		dr = 260.064220000334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41566086-0.41570879) × cos(0.55212925) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.851409658571402 × 6371000     		do = 259.988181702828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41566086-0.41570879) × cos(0.55208843) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.851431068004328 × 6371000     		du = 259.994719330728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55212925)-sin(0.55208843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851409658571402-0.851431068004328)×R²
    abs(0.41570879-0.41566086)×2.14094329257231e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.14094329257231e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.14094329257231e-05×40589641000000     		ar = 67614.4737948858m²