Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74207 / 53382
↖ ↑ ↗
← N 31.639352°
E 23.815613°		 ← 259.98 m → N 31.639352°
E 23.818359°		 →
↑
260 m
↓
↑
260 m
↓
N 31.637014°
E 23.815613°		 ← 259.98 m →
67 595 m²		 N 31.637014°
E 23.818359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53382 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566158294677734 y=0.407276153564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566158294677734 × 217)
    floor (0.566158294677734 × 131072)
    floor (74207.5)     		tx = 74207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407276153564453 × 217)
    floor (0.407276153564453 × 131072)
    floor (53382.5)     		ty = 53382
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74207 / 53382 ti = "17/74207/53382"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74207/53382.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74207 ÷ 217
    74207 ÷ 131072     		x = 0.566154479980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53382 ÷ 217
    53382 ÷ 131072     		y = 0.407272338867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566154479980469 × 2 - 1) × π
    0.132308959960938 × 3.1415926535     		Λ = 0.41566086
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407272338867188 × 2 - 1) × π
    0.185455322265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.582625077982162
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41566086} λ = 0.41566086}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.582625077982162))-π/2
    2×atan(1.79073308012437)-π/2
    2×1.06150359937341-π/2
    2.12300719874681-1.57079632675     		φ = 0.55221087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41566086} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.815613°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55221087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.639352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74207 KachelY 53382 0.41566086 0.55221087 23.815613 31.639352
    Oben rechts KachelX + 1 74208 KachelY 53382 0.41570879 0.55221087 23.818359 31.639352
    Unten links KachelX 74207 KachelY + 1 53383 0.41566086 0.55217006 23.815613 31.637014
    Unten rechts KachelX + 1 74208 KachelY + 1 53383 0.41570879 0.55217006 23.818359 31.637014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55221087-0.55217006) × R
    4.08100000000022e-05 × 6371000     		dl = 260.000510000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55221087-0.55217006) × R
    4.08100000000022e-05 × 6371000     		dr = 260.000510000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41566086-0.41570879) × cos(0.55221087) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.851366845940961 × 6371000     		do = 259.975108351087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41566086-0.41570879) × cos(0.55217006) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.851388252965156 × 6371000     		du = 259.981645243452m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55221087)-sin(0.55217006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851366845940961-0.851388252965156)×R²
    abs(0.41570879-0.41566086)×2.14070241955078e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.14070241955078e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.14070241955078e-05×40589641000000     		ar = 67594.510565569m²