Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74206 / 60698
↖ ↑ ↗
← N 13.170423°
E 23.812866°		 ← 297.39 m → N 13.170423°
E 23.815613°		 →
↑
297.40 m
↓
↑
297.40 m
↓
N 13.167748°
E 23.812866°		 ← 297.40 m →
88 444 m²		 N 13.167748°
E 23.815613°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566150665283203 y=0.463092803955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566150665283203 × 217)
    floor (0.566150665283203 × 131072)
    floor (74206.5)     		tx = 74206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463092803955078 × 217)
    floor (0.463092803955078 × 131072)
    floor (60698.5)     		ty = 60698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74206 / 60698 ti = "17/74206/60698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74206/60698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74206 ÷ 217
    74206 ÷ 131072     		x = 0.566146850585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60698 ÷ 217
    60698 ÷ 131072     		y = 0.463088989257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566146850585938 × 2 - 1) × π
    0.132293701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.41561292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.463088989257812 × 2 - 1) × π
    0.073822021484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.231918720361832
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41561292} λ = 0.41561292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.231918720361832))-π/2
    2×atan(1.26101722963869)-π/2
    2×0.900331782583232-π/2
    1.80066356516646-1.57079632675     		φ = 0.22986724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41561292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.812866°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22986724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.170423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74206 KachelY 60698 0.41561292 0.22986724 23.812866 13.170423
    Oben rechts KachelX + 1 74207 KachelY 60698 0.41566086 0.22986724 23.815613 13.170423
    Unten links KachelX 74206 KachelY + 1 60699 0.41561292 0.22982056 23.812866 13.167748
    Unten rechts KachelX + 1 74207 KachelY + 1 60699 0.41566086 0.22982056 23.815613 13.167748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22986724-0.22982056) × R
    4.66799999999934e-05 × 6371000     		dl = 297.398279999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22986724-0.22982056) × R
    4.66799999999934e-05 × 6371000     		dr = 297.398279999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41561292-0.41566086) × cos(0.22986724) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.973696652720769 × 6371000     		do = 297.392020692913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41561292-0.41566086) × cos(0.22982056) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.973707287616576 × 6371000     		du = 297.395268863835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22986724)-sin(0.22982056))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.973696652720769-0.973707287616576)×R²
    abs(0.41566086-0.41561292)×1.06348958063274e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.06348958063274e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.06348958063274e-05×40589641000000     		ar = 88444.3584560466m²