Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74206 / 55070
↖ ↑ ↗
← N 27.610539°
E 23.812866°		 ← 270.64 m → N 27.610539°
E 23.815613°		 →
↑
270.64 m
↓
↑
270.64 m
↓
N 27.608105°
E 23.812866°		 ← 270.65 m →
73 248 m²		 N 27.608105°
E 23.815613°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55070 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566150665283203 y=0.420154571533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566150665283203 × 217)
    floor (0.566150665283203 × 131072)
    floor (74206.5)     		tx = 74206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420154571533203 × 217)
    floor (0.420154571533203 × 131072)
    floor (55070.5)     		ty = 55070
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74206 / 55070 ti = "17/74206/55070"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74206/55070.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74206 ÷ 217
    74206 ÷ 131072     		x = 0.566146850585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55070 ÷ 217
    55070 ÷ 131072     		y = 0.420150756835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566146850585938 × 2 - 1) × π
    0.132293701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.41561292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420150756835938 × 2 - 1) × π
    0.159698486328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.501707591423508
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41561292} λ = 0.41561292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.501707591423508))-π/2
    2×atan(1.65153901809769)-π/2
    2×1.02634556617292-π/2
    2.05269113234584-1.57079632675     		φ = 0.48189481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41561292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.812866°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48189481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.610539°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74206 KachelY 55070 0.41561292 0.48189481 23.812866 27.610539
    Oben rechts KachelX + 1 74207 KachelY 55070 0.41566086 0.48189481 23.815613 27.610539
    Unten links KachelX 74206 KachelY + 1 55071 0.41561292 0.48185233 23.812866 27.608105
    Unten rechts KachelX + 1 74207 KachelY + 1 55071 0.41566086 0.48185233 23.815613 27.608105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48189481-0.48185233) × R
    4.24800000000114e-05 × 6371000     		dl = 270.640080000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48189481-0.48185233) × R
    4.24800000000114e-05 × 6371000     		dr = 270.640080000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41561292-0.41566086) × cos(0.48189481) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.886118347212604 × 6371000     		do = 270.643351925123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41561292-0.41566086) × cos(0.48185233) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.886138034152773 × 6371000     		du = 270.649364823392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48189481)-sin(0.48185233))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886118347212604-0.886138034152773)×R²
    abs(0.41566086-0.41561292)×1.96869401687394e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.96869401687394e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.96869401687394e-05×40589641000000     		ar = 73247.7520931106m²