Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74205 / 76895
↖ ↑ ↗
← S 29.761993°
E 23.810119°		 ← 265.14 m → S 29.761993°
E 23.812866°		 →
↑
265.10 m
↓
↑
265.10 m
↓
S 29.764377°
E 23.810119°		 ← 265.13 m →
70 287 m²		 S 29.764377°
E 23.812866°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74205 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76895 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566143035888672 y=0.586666107177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566143035888672 × 217)
    floor (0.566143035888672 × 131072)
    floor (74205.5)     		tx = 74205
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586666107177734 × 217)
    floor (0.586666107177734 × 131072)
    floor (76895.5)     		ty = 76895
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74205 / 76895 ti = "17/74205/76895"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74205/76895.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74205 ÷ 217
    74205 ÷ 131072     		x = 0.566139221191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76895 ÷ 217
    76895 ÷ 131072     		y = 0.586662292480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566139221191406 × 2 - 1) × π
    0.132278442382812 × 3.1415926535     		Λ = 0.41556498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586662292480469 × 2 - 1) × π
    -0.173324584960938 × 3.1415926535     		Φ = -0.544515242784218
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41556498} λ = 0.41556498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.544515242784218))-π/2
    2×atan(0.580122933967725)-π/2
    2×0.525675777544997-π/2
    1.05135155508999-1.57079632675     		φ = -0.51944477
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41556498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.810119°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51944477 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.761993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74205 KachelY 76895 0.41556498 -0.51944477 23.810119 -29.761993
    Oben rechts KachelX + 1 74206 KachelY 76895 0.41561292 -0.51944477 23.812866 -29.761993
    Unten links KachelX 74205 KachelY + 1 76896 0.41556498 -0.51948638 23.810119 -29.764377
    Unten rechts KachelX + 1 74206 KachelY + 1 76896 0.41561292 -0.51948638 23.812866 -29.764377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51944477--0.51948638) × R
    4.16100000000252e-05 × 6371000     		dl = 265.097310000161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51944477--0.51948638) × R
    4.16100000000252e-05 × 6371000     		dr = 265.097310000161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41556498-0.41561292) × cos(-0.51944477) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.868094928656612 × 6371000     		do = 265.138535975326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41556498-0.41561292) × cos(-0.51948638) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.868074272775093 × 6371000     		du = 265.132227137428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51944477)-sin(-0.51948638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.868094928656612-0.868074272775093)×R²
    abs(0.41561292-0.41556498)×2.06558815193381e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.06558815193381e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.06558815193381e-05×40589641000000     		ar = 70286.6764466211m²