Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74204 / 53362
↖ ↑ ↗
← N 31.686107°
E 23.807373°		 ← 259.84 m → N 31.686107°
E 23.810119°		 →
↑
259.87 m
↓
↑
259.87 m
↓
N 31.683770°
E 23.807373°		 ← 259.85 m →
67 527 m²		 N 31.683770°
E 23.810119°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566135406494141 y=0.407123565673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566135406494141 × 217)
    floor (0.566135406494141 × 131072)
    floor (74204.5)     		tx = 74204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407123565673828 × 217)
    floor (0.407123565673828 × 131072)
    floor (53362.5)     		ty = 53362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74204 / 53362 ti = "17/74204/53362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74204/53362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74204 ÷ 217
    74204 ÷ 131072     		x = 0.566131591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53362 ÷ 217
    53362 ÷ 131072     		y = 0.407119750976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566131591796875 × 2 - 1) × π
    0.13226318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41551705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407119750976562 × 2 - 1) × π
    0.185760498046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.583583815974564
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41551705} λ = 0.41551705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.583583815974564))-π/2
    2×atan(1.79245074722732)-π/2
    2×1.06191161558838-π/2
    2.12382323117677-1.57079632675     		φ = 0.55302690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41551705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.807373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55302690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.686107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74204 KachelY 53362 0.41551705 0.55302690 23.807373 31.686107
    Oben rechts KachelX + 1 74205 KachelY 53362 0.41556498 0.55302690 23.810119 31.686107
    Unten links KachelX 74204 KachelY + 1 53363 0.41551705 0.55298611 23.807373 31.683770
    Unten rechts KachelX + 1 74205 KachelY + 1 53363 0.41556498 0.55298611 23.810119 31.683770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55302690-0.55298611) × R
    4.07900000000128e-05 × 6371000     		dl = 259.873090000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55302690-0.55298611) × R
    4.07900000000128e-05 × 6371000     		dr = 259.873090000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41551705-0.41556498) × cos(0.55302690) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.850938497037643 × 6371000     		do = 259.844306860422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41551705-0.41556498) × cos(0.55298611) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.850959921902828 × 6371000     		du = 259.850849200747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55302690)-sin(0.55298611))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850938497037643-0.850959921902828)×R²
    abs(0.41556498-0.41551705)×2.14248651845272e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.14248651845272e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.14248651845272e-05×40589641000000     		ar = 67527.3930411233m²