Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7420 / 7518
↖ ↑ ↗
← S 81.710526°
E146.074219°		 ← 704.51 m → S 81.710526°
E146.118164°		 →
↑
704.19 m
↓
↑
704.19 m
↓
S 81.716859°
E146.074219°		 ← 703.97 m →
495 916 m²		 S 81.716859°
E146.118164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7518 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.90582275390625 y=0.91778564453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.90582275390625 × 213)
    floor (0.90582275390625 × 8192)
    floor (7420.5)     		tx = 7420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.91778564453125 × 213)
    floor (0.91778564453125 × 8192)
    floor (7518.5)     		ty = 7518
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7420 / 7518 ti = "13/7420/7518"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7420/7518.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7420 ÷ 213
    7420 ÷ 8192     		x = 0.90576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7518 ÷ 213
    7518 ÷ 8192     		y = 0.917724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90576171875 × 2 - 1) × π
    0.8115234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.54947607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.917724609375 × 2 - 1) × π
    -0.83544921875 × 3.1415926535     		Φ = -2.62464112799731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54947607} λ = 2.54947607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62464112799731))-π/2
    2×atan(0.0724657583002165)-π/2
    2×0.0723393103267211-π/2
    0.144678620653442-1.57079632675     		φ = -1.42611771
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54947607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.074219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42611771 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.710526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7420 KachelY 7518 2.54947607 -1.42611771 146.074219 -81.710526
    Oben rechts KachelX + 1 7421 KachelY 7518 2.55024306 -1.42611771 146.118164 -81.710526
    Unten links KachelX 7420 KachelY + 1 7519 2.54947607 -1.42622824 146.074219 -81.716859
    Unten rechts KachelX + 1 7421 KachelY + 1 7519 2.55024306 -1.42622824 146.118164 -81.716859
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42611771--1.42622824) × R
    0.000110529999999942 × 6371000     		dl = 704.186629999631m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42611771--1.42622824) × R
    0.000110529999999942 × 6371000     		dr = 704.186629999631m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54947607-2.55024306) × cos(-1.42611771) × R
    0.000766990000000245 × 0.144174411674396 × 6371000     		do = 704.50729523686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54947607-2.55024306) × cos(-1.42622824) × R
    0.000766990000000245 × 0.14406503557908 × 6371000     		du = 703.972829681011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42611771)-sin(-1.42622824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144174411674396-0.14406503557908)×R²
    abs(2.55024306-2.54947607)×0.000109376095316027×R²
    0.000766990000000245×0.000109376095316027×6371000²
    0.000766990000000245×0.000109376095316027×40589641000000     		ar = 495916.436796825m²