Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7420 / 4872
↖ ↑ ↗
← N 58.722599°
W 16.962891°		 ← 1 268.47 m → N 58.722599°
W 16.940918°		 →
↑
1 268.66 m
↓
↑
1 268.66 m
↓
N 58.711189°
W 16.962891°		 ← 1 268.89 m →
1 609 522 m²		 N 58.711189°
W 16.940918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452911376953125 y=0.297393798828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452911376953125 × 214)
    floor (0.452911376953125 × 16384)
    floor (7420.5)     		tx = 7420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297393798828125 × 214)
    floor (0.297393798828125 × 16384)
    floor (4872.5)     		ty = 4872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7420 / 4872 ti = "14/7420/4872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7420/4872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7420 ÷ 214
    7420 ÷ 16384     		x = 0.452880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4872 ÷ 214
    4872 ÷ 16384     		y = 0.29736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452880859375 × 2 - 1) × π
    -0.09423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29605829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29736328125 × 2 - 1) × π
    0.4052734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.27320405390869
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29605829} λ = -0.29605829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27320405390869))-π/2
    2×atan(3.57228002325043)-π/2
    2×1.29784951082656-π/2
    2.59569902165312-1.57079632675     		φ = 1.02490269
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29605829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.962891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02490269 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.722599°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7420 KachelY 4872 -0.29605829 1.02490269 -16.962891 58.722599
    Oben rechts KachelX + 1 7421 KachelY 4872 -0.29567480 1.02490269 -16.940918 58.722599
    Unten links KachelX 7420 KachelY + 1 4873 -0.29605829 1.02470356 -16.962891 58.711189
    Unten rechts KachelX + 1 7421 KachelY + 1 4873 -0.29567480 1.02470356 -16.940918 58.711189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02490269-1.02470356) × R
    0.000199129999999936 × 6371000     		dl = 1268.65722999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02490269-1.02470356) × R
    0.000199129999999936 × 6371000     		dr = 1268.65722999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29605829--0.29567480) × cos(1.02490269) × R
    0.000383489999999986 × 0.519182056613281 × 6371000     		do = 1268.47327942014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29605829--0.29567480) × cos(1.02470356) × R
    0.000383489999999986 × 0.519352235495645 × 6371000     		du = 1268.88906298248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02490269)-sin(1.02470356))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.519182056613281-0.519352235495645)×R²
    abs(-0.29567480--0.29605829)×0.000170178882363703×R²
    0.000383489999999986×0.000170178882363703×6371000²
    0.000383489999999986×0.000170178882363703×40589641000000     		ar = 1609521.54572635m²