Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74199 / 77370
↖ ↑ ↗
← S 30.888084°
E 23.793640°		 ← 262.11 m → S 30.888084°
E 23.796387°		 →
↑
262.04 m
↓
↑
262.04 m
↓
S 30.890440°
E 23.793640°		 ← 262.10 m →
68 682 m²		 S 30.890440°
E 23.796387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566097259521484 y=0.590290069580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566097259521484 × 217)
    floor (0.566097259521484 × 131072)
    floor (74199.5)     		tx = 74199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590290069580078 × 217)
    floor (0.590290069580078 × 131072)
    floor (77370.5)     		ty = 77370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74199 / 77370 ti = "17/74199/77370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74199/77370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74199 ÷ 217
    74199 ÷ 131072     		x = 0.566093444824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77370 ÷ 217
    77370 ÷ 131072     		y = 0.590286254882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566093444824219 × 2 - 1) × π
    0.132186889648438 × 3.1415926535     		Λ = 0.41527736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590286254882812 × 2 - 1) × π
    -0.180572509765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.567285270103745
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41527736} λ = 0.41527736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.567285270103745))-π/2
    2×atan(0.567062773295013)-π/2
    2×0.515848784915224-π/2
    1.03169756983045-1.57079632675     		φ = -0.53909876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41527736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.793640°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53909876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.888084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74199 KachelY 77370 0.41527736 -0.53909876 23.793640 -30.888084
    Oben rechts KachelX + 1 74200 KachelY 77370 0.41532530 -0.53909876 23.796387 -30.888084
    Unten links KachelX 74199 KachelY + 1 77371 0.41527736 -0.53913989 23.793640 -30.890440
    Unten rechts KachelX + 1 74200 KachelY + 1 77371 0.41532530 -0.53913989 23.796387 -30.890440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53909876--0.53913989) × R
    4.11299999999448e-05 × 6371000     		dl = 262.039229999648m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53909876--0.53913989) × R
    4.11299999999448e-05 × 6371000     		dr = 262.039229999648m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41527736-0.41532530) × cos(-0.53909876) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.858171692892361 × 6371000     		do = 262.107724348834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41527736-0.41532530) × cos(-0.53913989) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.858150577555286 × 6371000     		du = 262.101275181382m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53909876)-sin(-0.53913989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858171692892361-0.858150577555286)×R²
    abs(0.41532530-0.41527736)×2.11153370752726e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.11153370752726e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.11153370752726e-05×40589641000000     		ar = 68681.661307715m²