Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74189 / 60525
↖ ↑ ↗
← N 13.632641°
E 23.766174°		 ← 296.82 m → N 13.632641°
E 23.768921°		 →
↑
296.76 m
↓
↑
296.76 m
↓
N 13.629972°
E 23.766174°		 ← 296.82 m →
88 085 m²		 N 13.629972°
E 23.768921°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74189 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566020965576172 y=0.461772918701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566020965576172 × 217)
    floor (0.566020965576172 × 131072)
    floor (74189.5)     		tx = 74189
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461772918701172 × 217)
    floor (0.461772918701172 × 131072)
    floor (60525.5)     		ty = 60525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74189 / 60525 ti = "17/74189/60525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74189/60525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74189 ÷ 217
    74189 ÷ 131072     		x = 0.566017150878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60525 ÷ 217
    60525 ÷ 131072     		y = 0.461769104003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566017150878906 × 2 - 1) × π
    0.132034301757812 × 3.1415926535     		Λ = 0.41479799
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461769104003906 × 2 - 1) × π
    0.0764617919921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.240211803996101
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41479799} λ = 0.41479799}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.240211803996101))-π/2
    2×atan(1.27151843448821)-π/2
    2×0.904365400567103-π/2
    1.80873080113421-1.57079632675     		φ = 0.23793447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41479799} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.766174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23793447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.632641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74189 KachelY 60525 0.41479799 0.23793447 23.766174 13.632641
    Oben rechts KachelX + 1 74190 KachelY 60525 0.41484593 0.23793447 23.768921 13.632641
    Unten links KachelX 74189 KachelY + 1 60526 0.41479799 0.23788789 23.766174 13.629972
    Unten rechts KachelX + 1 74190 KachelY + 1 60526 0.41484593 0.23788789 23.768921 13.629972
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23793447-0.23788789) × R
    4.65800000000183e-05 × 6371000     		dl = 296.761180000116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23793447-0.23788789) × R
    4.65800000000183e-05 × 6371000     		dr = 296.761180000116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41479799-0.41484593) × cos(0.23793447) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.971826884344553 × 6371000     		do = 296.820945302635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41479799-0.41484593) × cos(0.23788789) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.971837862000305 × 6371000     		du = 296.824298161266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23793447)-sin(0.23788789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971826884344553-0.971837862000305)×R²
    abs(0.41484593-0.41479799)×1.09776557519758e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.09776557519758e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.09776557519758e-05×40589641000000     		ar = 88085.4314918578m²