Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74185 / 60653
↖ ↑ ↗
← N 13.290738°
E 23.755188°		 ← 297.25 m → N 13.290738°
E 23.757934°		 →
↑
297.21 m
↓
↑
297.21 m
↓
N 13.288065°
E 23.755188°		 ← 297.25 m →
88 344 m²		 N 13.288065°
E 23.757934°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565990447998047 y=0.462749481201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565990447998047 × 217)
    floor (0.565990447998047 × 131072)
    floor (74185.5)     		tx = 74185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462749481201172 × 217)
    floor (0.462749481201172 × 131072)
    floor (60653.5)     		ty = 60653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74185 / 60653 ti = "17/74185/60653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74185/60653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74185 ÷ 217
    74185 ÷ 131072     		x = 0.565986633300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60653 ÷ 217
    60653 ÷ 131072     		y = 0.462745666503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565986633300781 × 2 - 1) × π
    0.131973266601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.41460624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462745666503906 × 2 - 1) × π
    0.0745086669921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.234075880844734
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41460624} λ = 0.41460624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.234075880844734))-π/2
    2×atan(1.26374038225735)-π/2
    2×0.901381733733106-π/2
    1.80276346746621-1.57079632675     		φ = 0.23196714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41460624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.755188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23196714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.290738°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74185 KachelY 60653 0.41460624 0.23196714 23.755188 13.290738
    Oben rechts KachelX + 1 74186 KachelY 60653 0.41465418 0.23196714 23.757934 13.290738
    Unten links KachelX 74185 KachelY + 1 60654 0.41460624 0.23192049 23.755188 13.288065
    Unten rechts KachelX + 1 74186 KachelY + 1 60654 0.41465418 0.23192049 23.757934 13.288065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23196714-0.23192049) × R
    4.66499999999814e-05 × 6371000     		dl = 297.207149999882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23196714-0.23192049) × R
    4.66499999999814e-05 × 6371000     		dr = 297.207149999882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41460624-0.41465418) × cos(0.23196714) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.97321604772046 × 6371000     		do = 297.245231554702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41460624-0.41465418) × cos(0.23192049) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.97322677114285 × 6371000     		du = 297.248506763921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23196714)-sin(0.23192049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97321604772046-0.97322677114285)×R²
    abs(0.41465418-0.41460624)×1.07234223899466e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.07234223899466e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.07234223899466e-05×40589641000000     		ar = 88343.8948452395m²