Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74185 / 53387
↖ ↑ ↗
← N 31.627660°
E 23.755188°		 ← 260.06 m → N 31.627660°
E 23.757934°		 →
↑
260.06 m
↓
↑
260.06 m
↓
N 31.625321°
E 23.755188°		 ← 260.07 m →
67 634 m²		 N 31.625321°
E 23.757934°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53387 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565990447998047 y=0.407314300537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565990447998047 × 217)
    floor (0.565990447998047 × 131072)
    floor (74185.5)     		tx = 74185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407314300537109 × 217)
    floor (0.407314300537109 × 131072)
    floor (53387.5)     		ty = 53387
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74185 / 53387 ti = "17/74185/53387"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74185/53387.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74185 ÷ 217
    74185 ÷ 131072     		x = 0.565986633300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53387 ÷ 217
    53387 ÷ 131072     		y = 0.407310485839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565986633300781 × 2 - 1) × π
    0.131973266601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.41460624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407310485839844 × 2 - 1) × π
    0.185379028320312 × 3.1415926535     		Φ = 0.582385393484062
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41460624} λ = 0.41460624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.582385393484062))-π/2
    2×atan(1.79030392059833)-π/2
    2×1.06140156324221-π/2
    2.12280312648442-1.57079632675     		φ = 0.55200680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41460624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.755188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55200680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.627660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74185 KachelY 53387 0.41460624 0.55200680 23.755188 31.627660
    Oben rechts KachelX + 1 74186 KachelY 53387 0.41465418 0.55200680 23.757934 31.627660
    Unten links KachelX 74185 KachelY + 1 53388 0.41460624 0.55196598 23.755188 31.625321
    Unten rechts KachelX + 1 74186 KachelY + 1 53388 0.41465418 0.55196598 23.757934 31.625321
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55200680-0.55196598) × R
    4.08200000000525e-05 × 6371000     		dl = 260.064220000334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55200680-0.55196598) × R
    4.08200000000525e-05 × 6371000     		dr = 260.064220000334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41460624-0.41465418) × cos(0.55200680) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.851473877370025 × 6371000     		do = 260.062039086239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41460624-0.41465418) × cos(0.55196598) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.851495282547043 × 6371000     		du = 260.068576778269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55200680)-sin(0.55196598))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851473877370025-0.851495282547043)×R²
    abs(0.41465418-0.41460624)×2.14051770178747e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.14051770178747e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.14051770178747e-05×40589641000000     		ar = 67633.6814660232m²