Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74184 / 54858
↖ ↑ ↗
← N 28.125283°
E 23.752442°		 ← 269.30 m → N 28.125283°
E 23.755188°		 →
↑
269.37 m
↓
↑
269.37 m
↓
N 28.122861°
E 23.752442°		 ← 269.31 m →
72 542 m²		 N 28.122861°
E 23.755188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54858 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565982818603516 y=0.418537139892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565982818603516 × 217)
    floor (0.565982818603516 × 131072)
    floor (74184.5)     		tx = 74184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418537139892578 × 217)
    floor (0.418537139892578 × 131072)
    floor (54858.5)     		ty = 54858
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74184 / 54858 ti = "17/74184/54858"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74184/54858.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74184 ÷ 217
    74184 ÷ 131072     		x = 0.56597900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54858 ÷ 217
    54858 ÷ 131072     		y = 0.418533325195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56597900390625 × 2 - 1) × π
    0.1319580078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41455831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418533325195312 × 2 - 1) × π
    0.162933349609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.51187021414296
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41455831} λ = 0.41455831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.51187021414296))-π/2
    2×atan(1.66840856025253)-π/2
    2×1.03083756190324-π/2
    2.06167512380647-1.57079632675     		φ = 0.49087880
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41455831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.752442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49087880 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.125283°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74184 KachelY 54858 0.41455831 0.49087880 23.752442 28.125283
    Oben rechts KachelX + 1 74185 KachelY 54858 0.41460624 0.49087880 23.755188 28.125283
    Unten links KachelX 74184 KachelY + 1 54859 0.41455831 0.49083652 23.752442 28.122861
    Unten rechts KachelX + 1 74185 KachelY + 1 54859 0.41460624 0.49083652 23.755188 28.122861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49087880-0.49083652) × R
    4.22800000000056e-05 × 6371000     		dl = 269.365880000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49087880-0.49083652) × R
    4.22800000000056e-05 × 6371000     		dr = 269.365880000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41455831-0.41460624) × cos(0.49087880) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.881918931924679 × 6371000     		do = 269.304555348117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41455831-0.41460624) × cos(0.49083652) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.881938861974942 × 6371000     		du = 269.310641228723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49087880)-sin(0.49083652))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881918931924679-0.881938861974942)×R²
    abs(0.41460624-0.41455831)×1.99300502630173e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.99300502630173e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.99300502630173e-05×40589641000000     		ar = 72542.2782143917m²