Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74182 / 60647
↖ ↑ ↗
← N 13.306776°
E 23.746948°		 ← 297.23 m → N 13.306776°
E 23.749695°		 →
↑
297.21 m
↓
↑
297.21 m
↓
N 13.304103°
E 23.746948°		 ← 297.23 m →
88 338 m²		 N 13.304103°
E 23.749695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74182 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565967559814453 y=0.462703704833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565967559814453 × 217)
    floor (0.565967559814453 × 131072)
    floor (74182.5)     		tx = 74182
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462703704833984 × 217)
    floor (0.462703704833984 × 131072)
    floor (60647.5)     		ty = 60647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74182 / 60647 ti = "17/74182/60647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74182/60647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74182 ÷ 217
    74182 ÷ 131072     		x = 0.565963745117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60647 ÷ 217
    60647 ÷ 131072     		y = 0.462699890136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565963745117188 × 2 - 1) × π
    0.131927490234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41446243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462699890136719 × 2 - 1) × π
    0.0746002197265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.234363502242455
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41446243} λ = 0.41446243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.234363502242455))-π/2
    2×atan(1.2641039133096)-π/2
    2×0.901521687984144-π/2
    1.80304337596829-1.57079632675     		φ = 0.23224705
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41446243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.746948°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23224705 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.306776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74182 KachelY 60647 0.41446243 0.23224705 23.746948 13.306776
    Oben rechts KachelX + 1 74183 KachelY 60647 0.41451037 0.23224705 23.749695 13.306776
    Unten links KachelX 74182 KachelY + 1 60648 0.41446243 0.23220040 23.746948 13.304103
    Unten rechts KachelX + 1 74183 KachelY + 1 60648 0.41451037 0.23220040 23.749695 13.304103
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23224705-0.23220040) × R
    4.66500000000092e-05 × 6371000     		dl = 297.207150000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23224705-0.23220040) × R
    4.66500000000092e-05 × 6371000     		dr = 297.207150000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41446243-0.41451037) × cos(0.23224705) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.973151660408662 × 6371000     		do = 297.225566012694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41446243-0.41451037) × cos(0.23220040) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.973162396538764 × 6371000     		du = 297.228845103175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23224705)-sin(0.23220040))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.973151660408662-0.973162396538764)×R²
    abs(0.41451037-0.41446243)×1.07361301016073e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.07361301016073e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.07361301016073e-05×40589641000000     		ar = 88338.0506823651m²