Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74180 / 78020
↖ ↑ ↗
← S 32.407792°
E 23.741455°		 ← 257.86 m → S 32.407792°
E 23.744202°		 →
↑
257.83 m
↓
↑
257.83 m
↓
S 32.410111°
E 23.741455°		 ← 257.85 m →
66 484 m²		 S 32.410111°
E 23.744202°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565952301025391 y=0.595249176025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565952301025391 × 217)
    floor (0.565952301025391 × 131072)
    floor (74180.5)     		tx = 74180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595249176025391 × 217)
    floor (0.595249176025391 × 131072)
    floor (78020.5)     		ty = 78020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74180 / 78020 ti = "17/74180/78020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74180/78020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74180 ÷ 217
    74180 ÷ 131072     		x = 0.565948486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78020 ÷ 217
    78020 ÷ 131072     		y = 0.595245361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565948486328125 × 2 - 1) × π
    0.13189697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41436656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595245361328125 × 2 - 1) × π
    -0.19049072265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.598444254856781
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41436656} λ = 0.41436656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.598444254856781))-π/2
    2×atan(0.549666111632162)-π/2
    2×0.502586830550236-π/2
    1.00517366110047-1.57079632675     		φ = -0.56562267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41436656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.741455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56562267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.407792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74180 KachelY 78020 0.41436656 -0.56562267 23.741455 -32.407792
    Oben rechts KachelX + 1 74181 KachelY 78020 0.41441450 -0.56562267 23.744202 -32.407792
    Unten links KachelX 74180 KachelY + 1 78021 0.41436656 -0.56566314 23.741455 -32.410111
    Unten rechts KachelX + 1 74181 KachelY + 1 78021 0.41441450 -0.56566314 23.744202 -32.410111
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56562267--0.56566314) × R
    4.04699999999591e-05 × 6371000     		dl = 257.83436999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56562267--0.56566314) × R
    4.04699999999591e-05 × 6371000     		dr = 257.83436999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41436656-0.41441450) × cos(-0.56562267) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.844255049347675 × 6371000     		do = 257.85722319588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41436656-0.41441450) × cos(-0.56566314) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.844233359099267 × 6371000     		du = 257.850598435709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56562267)-sin(-0.56566314))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.844255049347675-0.844233359099267)×R²
    abs(0.41441450-0.41436656)×2.1690248407702e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.1690248407702e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.1690248407702e-05×40589641000000     		ar = 66483.6006561748m²