Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74180 / 54859
↖ ↑ ↗
← N 28.122861°
E 23.741455°		 ← 269.37 m → N 28.122861°
E 23.744202°		 →
↑
269.37 m
↓
↑
269.37 m
↓
N 28.120439°
E 23.741455°		 ← 269.37 m →
72 559 m²		 N 28.120439°
E 23.744202°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54859 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565952301025391 y=0.418544769287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565952301025391 × 217)
    floor (0.565952301025391 × 131072)
    floor (74180.5)     		tx = 74180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418544769287109 × 217)
    floor (0.418544769287109 × 131072)
    floor (54859.5)     		ty = 54859
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74180 / 54859 ti = "17/74180/54859"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74180/54859.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74180 ÷ 217
    74180 ÷ 131072     		x = 0.565948486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54859 ÷ 217
    54859 ÷ 131072     		y = 0.418540954589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565948486328125 × 2 - 1) × π
    0.13189697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41436656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418540954589844 × 2 - 1) × π
    0.162918090820312 × 3.1415926535     		Φ = 0.51182227724334
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41436656} λ = 0.41436656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.51182227724334))-π/2
    2×atan(1.66832858383578)-π/2
    2×1.03081642343472-π/2
    2.06163284686943-1.57079632675     		φ = 0.49083652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41436656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.741455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49083652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.122861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74180 KachelY 54859 0.41436656 0.49083652 23.741455 28.122861
    Oben rechts KachelX + 1 74181 KachelY 54859 0.41441450 0.49083652 23.744202 28.122861
    Unten links KachelX 74180 KachelY + 1 54860 0.41436656 0.49079424 23.741455 28.120439
    Unten rechts KachelX + 1 74181 KachelY + 1 54860 0.41441450 0.49079424 23.744202 28.120439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49083652-0.49079424) × R
    4.22800000000056e-05 × 6371000     		dl = 269.365880000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49083652-0.49079424) × R
    4.22800000000056e-05 × 6371000     		dr = 269.365880000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41436656-0.41441450) × cos(0.49083652) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.881938861974942 × 6371000     		do = 269.36682955359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41436656-0.41441450) × cos(0.49079424) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.881958790448652 × 6371000     		du = 269.37291622242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49083652)-sin(0.49079424))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881938861974942-0.881958790448652)×R²
    abs(0.41441450-0.41436656)×1.99284737104621e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.99284737104621e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.99284737104621e-05×40589641000000     		ar = 72559.052866836m²