Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7418 / 7516
↖ ↑ ↗
← S 81.697845°
E145.986328°		 ← 705.58 m → S 81.697845°
E146.030273°		 →
↑
705.27 m
↓
↑
705.27 m
↓
S 81.704187°
E145.986328°		 ← 705.04 m →
497 434 m²		 S 81.704187°
E146.030273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.90557861328125 y=0.91754150390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.90557861328125 × 213)
    floor (0.90557861328125 × 8192)
    floor (7418.5)     		tx = 7418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.91754150390625 × 213)
    floor (0.91754150390625 × 8192)
    floor (7516.5)     		ty = 7516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7418 / 7516 ti = "13/7418/7516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7418/7516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7418 ÷ 213
    7418 ÷ 8192     		x = 0.905517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7516 ÷ 213
    7516 ÷ 8192     		y = 0.91748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905517578125 × 2 - 1) × π
    0.81103515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.54794209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91748046875 × 2 - 1) × π
    -0.8349609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.62310714720947
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54794209} λ = 2.54794209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62310714720947))-π/2
    2×atan(0.072577004684319)-π/2
    2×0.0724499746880176-π/2
    0.144899949376035-1.57079632675     		φ = -1.42589638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54794209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.986328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42589638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.697845°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7418 KachelY 7516 2.54794209 -1.42589638 145.986328 -81.697845
    Oben rechts KachelX + 1 7419 KachelY 7516 2.54870908 -1.42589638 146.030273 -81.697845
    Unten links KachelX 7418 KachelY + 1 7517 2.54794209 -1.42600708 145.986328 -81.704187
    Unten rechts KachelX + 1 7419 KachelY + 1 7517 2.54870908 -1.42600708 146.030273 -81.704187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42589638--1.42600708) × R
    0.000110700000000019 × 6371000     		dl = 705.269700000122m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42589638--1.42600708) × R
    0.000110700000000019 × 6371000     		dr = 705.269700000122m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54794209-2.54870908) × cos(-1.42589638) × R
    0.000766990000000245 × 0.144393425750109 × 6371000     		do = 705.577506048247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54794209-2.54870908) × cos(-1.42600708) × R
    0.000766990000000245 × 0.144283884961985 × 6371000     		du = 705.042235722097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42589638)-sin(-1.42600708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144393425750109-0.144283884961985)×R²
    abs(2.54870908-2.54794209)×0.000109540788124224×R²
    0.000766990000000245×0.000109540788124224×6371000²
    0.000766990000000245×0.000109540788124224×40589641000000     		ar = 497433.681553852m²