Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7418 / 4185
↖ ↑ ↗
← N 65.721594°
W 17.006836°		 ← 1 004.58 m → N 65.721594°
W 16.984863°		 →
↑
1 004.77 m
↓
↑
1 004.77 m
↓
N 65.712558°
W 17.006836°		 ← 1 004.93 m →
1 009 547 m²		 N 65.712558°
W 16.984863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452789306640625 y=0.255462646484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452789306640625 × 214)
    floor (0.452789306640625 × 16384)
    floor (7418.5)     		tx = 7418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.255462646484375 × 214)
    floor (0.255462646484375 × 16384)
    floor (4185.5)     		ty = 4185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7418 / 4185 ti = "14/7418/4185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7418/4185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7418 ÷ 214
    7418 ÷ 16384     		x = 0.4527587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4185 ÷ 214
    4185 ÷ 16384     		y = 0.25543212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4527587890625 × 2 - 1) × π
    -0.094482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29682528
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25543212890625 × 2 - 1) × π
    0.4891357421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.53666525422052
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29682528} λ = -0.29682528}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.53666525422052))-π/2
    2×atan(4.64906095581924)-π/2
    2×1.35892726199807-π/2
    2.71785452399614-1.57079632675     		φ = 1.14705820
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29682528} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.006836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14705820 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.721594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7418 KachelY 4185 -0.29682528 1.14705820 -17.006836 65.721594
    Oben rechts KachelX + 1 7419 KachelY 4185 -0.29644179 1.14705820 -16.984863 65.721594
    Unten links KachelX 7418 KachelY + 1 4186 -0.29682528 1.14690049 -17.006836 65.712558
    Unten rechts KachelX + 1 7419 KachelY + 1 4186 -0.29644179 1.14690049 -16.984863 65.712558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14705820-1.14690049) × R
    0.000157710000000089 × 6371000     		dl = 1004.77041000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14705820-1.14690049) × R
    0.000157710000000089 × 6371000     		dr = 1004.77041000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29682528--0.29644179) × cos(1.14705820) × R
    0.000383490000000042 × 0.4111708384085 × 6371000     		do = 1004.57867361646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29682528--0.29644179) × cos(1.14690049) × R
    0.000383490000000042 × 0.411314595154621 × 6371000     		du = 1004.92990222474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14705820)-sin(1.14690049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.4111708384085-0.411314595154621)×R²
    abs(-0.29644179--0.29682528)×0.000143756746120549×R²
    0.000383490000000042×0.000143756746120549×6371000²
    0.000383490000000042×0.000143756746120549×40589641000000     		ar = 1009547.37991763m²