Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74179 / 90054
↖ ↑ ↗
← S 55.686875°
E 23.738708°		 ← 172.17 m → S 55.686875°
E 23.741455°		 →
↑
172.21 m
↓
↑
172.21 m
↓
S 55.688424°
E 23.738708°		 ← 172.17 m →
29 649 m²		 S 55.688424°
E 23.741455°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74179 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565944671630859 y=0.687061309814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565944671630859 × 217)
    floor (0.565944671630859 × 131072)
    floor (74179.5)     		tx = 74179
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687061309814453 × 217)
    floor (0.687061309814453 × 131072)
    floor (90054.5)     		ty = 90054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74179 / 90054 ti = "17/74179/90054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74179/90054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74179 ÷ 217
    74179 ÷ 131072     		x = 0.565940856933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90054 ÷ 217
    90054 ÷ 131072     		y = 0.687057495117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565940856933594 × 2 - 1) × π
    0.131881713867188 × 3.1415926535     		Λ = 0.41431862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687057495117188 × 2 - 1) × π
    -0.374114990234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.17531690488454
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41431862} λ = 0.41431862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17531690488454))-π/2
    2×atan(0.308721128950426)-π/2
    2×0.299438501724947-π/2
    0.598877003449894-1.57079632675     		φ = -0.97191932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41431862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.738708°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97191932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.686875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74179 KachelY 90054 0.41431862 -0.97191932 23.738708 -55.686875
    Oben rechts KachelX + 1 74180 KachelY 90054 0.41436656 -0.97191932 23.741455 -55.686875
    Unten links KachelX 74179 KachelY + 1 90055 0.41431862 -0.97194635 23.738708 -55.688424
    Unten rechts KachelX + 1 74180 KachelY + 1 90055 0.41436656 -0.97194635 23.741455 -55.688424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97191932--0.97194635) × R
    2.70299999999279e-05 × 6371000     		dl = 172.208129999541m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97191932--0.97194635) × R
    2.70299999999279e-05 × 6371000     		dr = 172.208129999541m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41431862-0.41436656) × cos(-0.97191932) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.563715271263219 × 6371000     		do = 172.173153874756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41431862-0.41436656) × cos(-0.97194635) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.563692945110246 × 6371000     		du = 172.166334892964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97191932)-sin(-0.97194635))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563715271263219-0.563692945110246)×R²
    abs(0.41436656-0.41431862)×2.23261529722629e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.23261529722629e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.23261529722629e-05×40589641000000     		ar = 29649.0297246828m²