Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74175 / 61255
↖ ↑ ↗
← N 11.676445°
E 23.727722°		 ← 299.04 m → N 11.676445°
E 23.730469°		 →
↑
299.05 m
↓
↑
299.05 m
↓
N 11.673756°
E 23.727722°		 ← 299.05 m →
89 431 m²		 N 11.673756°
E 23.730469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74175 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565914154052734 y=0.467342376708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565914154052734 × 217)
    floor (0.565914154052734 × 131072)
    floor (74175.5)     		tx = 74175
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467342376708984 × 217)
    floor (0.467342376708984 × 131072)
    floor (61255.5)     		ty = 61255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74175 / 61255 ti = "17/74175/61255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74175/61255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74175 ÷ 217
    74175 ÷ 131072     		x = 0.565910339355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61255 ÷ 217
    61255 ÷ 131072     		y = 0.467338562011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565910339355469 × 2 - 1) × π
    0.131820678710938 × 3.1415926535     		Λ = 0.41412688
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467338562011719 × 2 - 1) × π
    0.0653228759765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.20521786727346
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41412688} λ = 0.41412688}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.20521786727346))-π/2
    2×atan(1.22779253163725)-π/2
    2×0.887294369888628-π/2
    1.77458873977726-1.57079632675     		φ = 0.20379241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41412688} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.727722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20379241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.676445°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74175 KachelY 61255 0.41412688 0.20379241 23.727722 11.676445
    Oben rechts KachelX + 1 74176 KachelY 61255 0.41417481 0.20379241 23.730469 11.676445
    Unten links KachelX 74175 KachelY + 1 61256 0.41412688 0.20374547 23.727722 11.673756
    Unten rechts KachelX + 1 74176 KachelY + 1 61256 0.41417481 0.20374547 23.730469 11.673756
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20379241-0.20374547) × R
    4.69399999999953e-05 × 6371000     		dl = 299.05473999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20379241-0.20374547) × R
    4.69399999999953e-05 × 6371000     		dr = 299.05473999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41412688-0.41417481) × cos(0.20379241) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.979306096257077 × 6371000     		do = 299.04289754462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41412688-0.41417481) × cos(0.20374547) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.97931559511636 × 6371000     		du = 299.045798135573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20379241)-sin(0.20374547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979306096257077-0.97931559511636)×R²
    abs(0.41417481-0.41412688)×9.49885928325234e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.49885928325234e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.49885928325234e-06×40589641000000     		ar = 89430.6297082035m²