Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7417 / 7483
↖ ↑ ↗
← S 81.485802°
E145.942383°		 ← 723.47 m → S 81.485802°
E145.986328°		 →
↑
723.17 m
↓
↑
723.17 m
↓
S 81.492306°
E145.942383°		 ← 722.92 m →
522 993 m²		 S 81.492306°
E145.986328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7417 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7483 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.90545654296875 y=0.91351318359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.90545654296875 × 213)
    floor (0.90545654296875 × 8192)
    floor (7417.5)     		tx = 7417
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.91351318359375 × 213)
    floor (0.91351318359375 × 8192)
    floor (7483.5)     		ty = 7483
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7417 / 7483 ti = "13/7417/7483"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7417/7483.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7417 ÷ 213
    7417 ÷ 8192     		x = 0.9053955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7483 ÷ 213
    7483 ÷ 8192     		y = 0.9134521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9053955078125 × 2 - 1) × π
    0.810791015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.54717510
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9134521484375 × 2 - 1) × π
    -0.826904296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.59779646421008
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54717510} λ = 2.54717510}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59779646421008))-π/2
    2×atan(0.074437423154973)-π/2
    2×0.0743003942450106-π/2
    0.148600788490021-1.57079632675     		φ = -1.42219554
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54717510} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.942383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42219554 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.485802°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7417 KachelY 7483 2.54717510 -1.42219554 145.942383 -81.485802
    Oben rechts KachelX + 1 7418 KachelY 7483 2.54794209 -1.42219554 145.986328 -81.485802
    Unten links KachelX 7417 KachelY + 1 7484 2.54717510 -1.42230905 145.942383 -81.492306
    Unten rechts KachelX + 1 7418 KachelY + 1 7484 2.54794209 -1.42230905 145.986328 -81.492306
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42219554--1.42230905) × R
    0.000113510000000039 × 6371000     		dl = 723.172210000248m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42219554--1.42230905) × R
    0.000113510000000039 × 6371000     		dr = 723.172210000248m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54717510-2.54794209) × cos(-1.42219554) × R
    0.000766989999999801 × 0.148054485091179 × 6371000     		do = 723.467247952262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54717510-2.54794209) × cos(-1.42230905) × R
    0.000766989999999801 × 0.147942225107967 × 6371000     		du = 722.918690297564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42219554)-sin(-1.42230905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148054485091179-0.147942225107967)×R²
    abs(2.54794209-2.54717510)×0.000112259983211377×R²
    0.000766989999999801×0.000112259983211377×6371000²
    0.000766989999999801×0.000112259983211377×40589641000000     		ar = 522993.058301848m²