Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74165 / 61037
↖ ↑ ↗
← N 12.262180°
E 23.700257°		 ← 298.40 m → N 12.262180°
E 23.703003°		 →
↑
298.48 m
↓
↑
298.48 m
↓
N 12.259495°
E 23.700257°		 ← 298.40 m →
89 066 m²		 N 12.259495°
E 23.703003°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565837860107422 y=0.465679168701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565837860107422 × 217)
    floor (0.565837860107422 × 131072)
    floor (74165.5)     		tx = 74165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465679168701172 × 217)
    floor (0.465679168701172 × 131072)
    floor (61037.5)     		ty = 61037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74165 / 61037 ti = "17/74165/61037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74165/61037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74165 ÷ 217
    74165 ÷ 131072     		x = 0.565834045410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61037 ÷ 217
    61037 ÷ 131072     		y = 0.465675354003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565834045410156 × 2 - 1) × π
    0.131668090820312 × 3.1415926535     		Λ = 0.41364751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.465675354003906 × 2 - 1) × π
    0.0686492919921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.215668111390633
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41364751} λ = 0.41364751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.215668111390633))-π/2
    2×atan(1.24069053960421)-π/2
    2×0.89240586735773-π/2
    1.78481173471546-1.57079632675     		φ = 0.21401541
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41364751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.700257°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21401541 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.262180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74165 KachelY 61037 0.41364751 0.21401541 23.700257 12.262180
    Oben rechts KachelX + 1 74166 KachelY 61037 0.41369544 0.21401541 23.703003 12.262180
    Unten links KachelX 74165 KachelY + 1 61038 0.41364751 0.21396856 23.700257 12.259495
    Unten rechts KachelX + 1 74166 KachelY + 1 61038 0.41369544 0.21396856 23.703003 12.259495
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21401541-0.21396856) × R
    4.68499999999872e-05 × 6371000     		dl = 298.481349999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21401541-0.21396856) × R
    4.68499999999872e-05 × 6371000     		dr = 298.481349999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41364751-0.41369544) × cos(0.21401541) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.977185980368401 × 6371000     		do = 298.395494653018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41364751-0.41369544) × cos(0.21396856) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.977195929552144 × 6371000     		du = 298.398532755962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21401541)-sin(0.21396856))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.977185980368401-0.977195929552144)×R²
    abs(0.41369544-0.41364751)×9.94918374330744e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.94918374330744e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.94918374330744e-06×40589641000000     		ar = 89065.9435027534m²